Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 12915

Cho x,y,z là các số thực không âm thoả mãn x+y=z=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P=x\sqrt{yz}+y\sqrt{zx}+z\sqrt{xy}

Cho x,y,z là các số thực không âm thoả mãn x+y=z=3. Tìm giá trị lớn nhất

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x,y,z là các số thực không âm thoả mãn x+y=z=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P=x\sqrt{yz}+y\sqrt{zx}+z\sqrt{xy}


A.
P_{max}=2
B.
P_{max}=6
C.
P_{max}=3
D.
P_{max}=1
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Theo bất đẳng thức Côsi ta có: xy+zx\geq 2x\sqrt{yz}

yz+xy\geq 2y\sqrt{zx}; zx+yz\geq 2z\sqrt{xy}

=> xy+yz+zx\geq x\sqrt{yz}+y\sqrt{zx}+z\sqrt{xy}                (*)

Cũng theo BĐT Côsi thì: x^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 4x\sqrt{yz}

y^{2}+y^{2}+z^{2}+x^{2}\geq 4y\sqrt{zx}

z^{2}+z^{2}+x^{2}+y^{2}\geq 4z\sqrt{xy}

=> x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq x\sqrt{yz}+y\sqrt{zx}+z\sqrt{xy}     (**)

Từ (*) và (**) suy ra 3(x\sqrt{yz}+y\sqrt{zx}+z\sqrt{xy})\leq (x+y+z)^{2}

<=>x\sqrt{yz}+y\sqrt{zx}+z\sqrt{xy}\leq 3

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1. Vậy: P_{max}=3

Câu hỏi liên quan

  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết