Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 12294

Cho a, b , c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = \frac{4}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+4}} - \frac{9}{(a+b)\sqrt{(a+2c)(b+2c)}}.

Cho a, b , c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a, b , c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = \frac{4}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+4}} - \frac{9}{(a+b)\sqrt{(a+2c)(b+2c)}}.


A.
Giá trị lớn nhất của P là \frac{5}{2}.
B.
Giá trị lớn nhất của P là \frac{5}{8}.
C.
Giá trị lớn nhất của P là \frac{5}{3}.
D.
Giá trị lớn nhất của P là \frac{5}{7}.
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: (a + b)\sqrt{(a+2c)(b+2c)} ≤(a + b)\frac{a+b+4c}{2} = \frac{a^{2}+b^{2}+2ab+4ac+4bc}{2} ≤ 2(a2 + b2 + c2).

Đặt t = \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+4} , suy ra t > 2 và P ≤ - \frac{4}{t} - \frac{9}{2(t^{2}-4)}

Xét f(t) =\frac{4}{t} - \frac{9}{2(t^{2}-4)}, với t > 2. Ta có f’(t) = -\frac{4}{t^{2}} + \frac{9t}{(t^{2}-4)^{2}}

=\frac{-(t-4)(4t^{3}+7t^{2}-4t-16)}{t^{2}(t^{2}-4)^{2}}

Với t >  2 ta có 4t3 + 7t2 – 4t – 16 = 4(t3 – 4) + t(7t – 4) > 0. Do đó f’(t) = 0 ⇔t = 4.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta được P  ≤ \frac{5}{8}

Khi a = b = c = 2 ta có P = \frac{5}{8}. Vậy giá trị lớn nhất của P là \frac{5}{8}.

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết