Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 1173

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = \frac{x}{(y+z)^{2}} + \frac{y}{(z+x)^{2}} + \frac{z}{(x+y)^{2}}.

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x2 + y2

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = \frac{x}{(y+z)^{2}} + \frac{y}{(z+x)^{2}} + \frac{z}{(x+y)^{2}}.


A.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là -\frac{4}{3}, đạt khi x = y = z = 1
B.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là \frac{4}{3}, đạt khi x = y = z = 1
C.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là -\frac{3}{4}, đạt khi x = y = z = 1
D.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là \frac{3}{4}, đạt khi x = y = z = 1
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Sử dụng bất đẳng thức (a+b)2 ≤ 2(a2 +b2) ta có

P ≥ \frac{1}{2}(\frac{x}{y^{2}+z^{2}} + \frac{y}{z^{2}+x^{2}} + \frac{z}{x^{2}+y^{2}}) = \frac{1}{2}(\frac{x}{3-x^{2}} + \frac{y}{3-y^{2}} + \frac{z}{3-z^{2}})

= \frac{1}{2}(\frac{x^{2}}{x.(3-x^{2})} + \frac{y^{2}}{y.(3-y^{2})} + \frac{z^{2}}{z.(3-z^{2})})

Vì x, y, z dương và x2 + y2 + z2 = 3 nên x ∈ (0;√3)

Xét hàm f(x) = x(3-x2) trên (0;√3).

Ta có f'(x) = -3x2+3; f'(x)=0 ⇔ x=1 và f'(x)>0 ⇔ x∈(0;1)

Suy ra f(x) ≤ f(1) = 2 với mọi x∈(0;√3). Do đó \frac{x^{2}}{x(3-x^{2})} ≥ \frac{x^{2}}{2}.

Tương tự ta cũng \frac{y^{2}}{y.(3-y^{2})}≥\frac{y^{2}}{2} và \frac{z^{2}}{z.(3-z^{2})} ≥ \frac{z^{2}}{2}

Từ đó suy ra P ≥ \frac{1}{2}\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2} = \frac{3}{4}

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là \frac{3}{4}, đạt khi x = y = z = 1.

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết