Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 10730

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \frac{1}{1+8^{a}} + \frac{1}{1+8^{b}}+ \frac{1}{1+8^{c}}.

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất củ

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \frac{1}{1+8^{a}} + \frac{1}{1+8^{b}}+ \frac{1}{1+8^{c}}.


A.
Giá trị nhỏ nhất bằng -1 .
B.
Giá trị nhỏ nhất bằng 3 .
C.
Giá trị nhỏ nhất bằng 2 .
D.
Giá trị nhỏ nhất bằng 1 .
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Với mọi x, y > 1 ta có \frac{1}{1+x^{2}} + \frac{1}{1+y^{2}}≥ \frac{2}{1+xy}

Thật vậy \frac{1}{1+x^{2}} + \frac{1}{1+y^{2}} ≥ \frac{2}{1+xy}⇔(2 + x2 + y2)(1 + xy) ≥ 2(1 + x2)(1 + y2) ⇔(xy – 1)(x – y)2 ≥ 0 luôn đúng với mọi x, y > 1

Dấu “=” xảy ra khi x  = y

Vì a, b ,c dương nên 8a, 8b, 8c lớn hơn 1. Áp dụng kết quả trên ta có

\frac{1}{1+8^{a}} + \frac{1}{1+8^{b}}+ \frac{1}{1+8^{c}} + \frac{1}{1+ 2} ≥ \frac{2}{1+\sqrt{8^{a+b}}} + \frac{2}{1+\sqrt{2.8^{c}}} ≥ \frac{4}{1+\sqrt{\sqrt{8^{a+b}.8^{c}.2}}}= \frac{2}{1+\sqrt{\sqrt{16}}}= \frac{4}{3}

=> \frac{1}{1+8^{a}} + \frac{1}{1+8^{b}}+ \frac{1}{1+8^{c}} ≥ 1

Vậy giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi a= b = c = \frac{1}{3}.

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết