Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 10245

Cho x, y , z là các số thực dương thỏa xyz = 1. Chứng minh: \frac{1}{(1+x)^{3}} + \frac{1}{(1+y)^{2}} +\frac{1}{(1+z)^{2}} ≥ \frac{3}{8}

Cho x, y , z là các số thực dương thỏa xyz = 1. Chứng minh:

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y , z là các số thực dương thỏa xyz = 1. Chứng minh: \frac{1}{(1+x)^{3}} + \frac{1}{(1+y)^{2}} +\frac{1}{(1+z)^{2}} ≥ \frac{3}{8}


A.
\frac{1}{(1+x)^{2}} + \frac{1}{(1+y)^{2}} +\frac{1}{(1+z)^{2}} ≥  \frac{3}{2}.
B.
\frac{1}{(1+x)^{2}} + \frac{1}{(1+y)^{2}} +\frac{1}{(1+z)^{2}} ≥  \frac{3}{4}.
C.
\frac{1}{(1+x)^{2}} + \frac{1}{(1+y)^{2}} +\frac{1}{(1+z)^{2}} ≥  \frac{1}{2}.
D.
\frac{1}{(1+x)^{2}} + \frac{1}{(1+y)^{2}} +\frac{1}{(1+z)^{2}} ≥  \frac{2}{3}.
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có \frac{1}{(1+x)^{3}} + \frac{1}{(x+y)^{3}} + \frac{1}{8} ≥ \frac{3}{2}.\frac{1}{(1+x)^{2}}

Tương tự, ta được : 2VT ≥ \frac{3}{2}.[\frac{1}{(1+x)^{2}} + \frac{1}{(1+y)^{2}} + \frac{1}{(1+z)^{2}}] – \frac{3}{8}

Do đó ta cần chứng minh \frac{1}{(1+x)^{2}} + \frac{1}{(1+y)^{2}} +\frac{1}{(1+z)^{2}} ≥  \frac{3}{4}(2)

Ta có xyz = 1 nên ta có thể giả thiết xy ≥ 1

Khi đó ta có: \frac{1}{(1+x)^{2}} +\frac{1}{(1+y)^{2}} ≥ \frac{2}{1+xy}(3)

⇔2xy + (x2 + y2)xy ≥ x2 + y2 + 2x2y2

⇔2xy(1 – xy) + (x2 + y2)(xy – 1) ≥ 0

⇔(xy – 1)(x – y)2 ≥ 0 (đúng do xy 1)

Áp dụng (3) ta được

VT(2) ≥ \frac{1}{2(1+x^{2})} + \frac{1}{2(1+y^{2})} + \frac{1}{2(1+z^{2})} (vì 2(1 + x2) ≥ (1 + x2)…)

          ≥ \frac{1}{2}(\frac{2}{1+xy}) = \frac{1}{(1+z)^{2}} (Do (3))

          =\frac{1}{1+\frac{1}{z}} + \frac{1}{(1+z)^{2}} = \frac{z}{z+1} + \frac{1}{(1+z)^{2}} = \frac{z^{2}+z+1}{(z+1)^{2}} = \frac{4z^{2}+4z+4}{4(z+1)^{2}}= \frac{3(z+1)^{2}+(z-1)^{2}}{4(z+1)^{2}}= \frac{3}{4} + \frac{(z-1)^{2}}{(z+1)^{2}} ≥\frac{3}{4}

Vậy (3) đúng =>(1)đúng =>(1) được chứng minh.

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết