Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Số Phức / Câu hỏi 2222

Trong tất cả các số phức z thỏa mãn \left | \frac{(1+i)z}{1-i}+2\right | = √3, hãy tìm số phức có mô đun nhỏ nhất và số phức có mô đun lớn nhất

Trong tất cả các số phức z thỏa mãn

Câu hỏi

Nhận biết

Trong tất cả các số phức z thỏa mãn \left | \frac{(1+i)z}{1-i}+2\right | = √3, hãy tìm số phức có mô đun nhỏ nhất và số phức có mô đun lớn nhất


A.
|z| lớn nhất khi z = (2 +√3)i với |z| = 2+\sqrt{3}, và |z| nhỏ nhất khi z = (2 -√3)i với |z| = 2-\sqrt{3},
B.
|z| lớn nhất khi z = (2 +√3)i với |z| = 2-\sqrt{3}, và |z| nhỏ nhất khi z = (2 -√3)i với |z| = 2+\sqrt{3},
C.
|z| lớn nhất khi z = (2 -√3)i với |z| = 2+\sqrt{3}, và |z| nhỏ nhất khi z = (2 +√3)i với |z| = 2-\sqrt{3},
D.
|z| lớn nhất khi z = (2 +√3)i với |z| =- 2+\sqrt{3}, và |z| nhỏ nhất khi z = (2 -√3)i với |z| = 2-\sqrt{3},
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt z = x + yi (x , y ∈ \mathbb{R}). Khi đó

 \left | \frac{(1+i)z}{1-i}+2\right | = √3 ⇔ |i(x +yi) + 2| = √3

⇔ |(2 - y) + xi| = √3 ⇔ (2 – y)2 + x2 = 3

⇔ \left ( \frac{x}{\sqrt{3}} \right )^{2} + \left ( \frac{y-2}{\sqrt{3}} \right )^{2} = 1

Đặt \frac{x}{\sqrt{3}} = sin α, \frac{y-2}{\sqrt{3}} = cos α. Khi đó x = √3sin α, y = √3cos α + 2 và

|z| = \sqrt{x^{2}+y^{2}} = \sqrt{3sin^{2}\alpha +(\sqrt{3}cos\alpha +2)^{2}} = \sqrt{7+4\sqrt{3}cos\alpha }Ta có

* |z| ≤ \sqrt{7+4\sqrt{3}} = 2 +  √3 , dấu đẳng thức xảy ra khi

cosα = 1 ⇔ \left\{\begin{matrix} x=0\\y=2+\sqrt{3} \end{matrix}\right. hay z = (2 + √3)i

* |z| ≤ \sqrt{7-4\sqrt{3}} = 2 -  √3 , dấu đẳng thức xảy ra khi

cosα = -1 ⇔ \left\{\begin{matrix} x=0\\y=2-\sqrt{3} \end{matrix}\right. hay z = (2 - √3)i

Vậy |z| lớn nhất khi z = (2 + √3)i với |z| = 2+\sqrt{3},

và |z| nhỏ nhất khi z = (2 - √3)i với |z| = 2-\sqrt{3},

Câu hỏi liên quan

  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết