Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 3720

Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho: (\widehat{(SBC),(ABC)}) = 600. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh tam giác AHK là tam giác vuông và tính thể tích VS.ABC.

Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộ

Câu hỏi

Nhận biết

Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho: (\widehat{(SBC),(ABC)}) = 600. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh tam giác AHK là tam giác vuông và tính thể tích VS.ABC.


A.
VS.ABC = \frac{1}{3}R3
B.
VS.ABC = R3
C.
VS.ABC = \frac{R^{3}}{2}
D.
VS.ABC = \frac{\sqrt{3}}{2}R3
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Chứng minh tam giác AHK là tam giác vuông:

SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC             (1)

Lại có AC ⊥ BC                        (2)

Từ (1) và (2) ⇒ BC ⊥ (SAC)

⇒ BC ⊥ AK ∈ (SAC), AK ⊥ SC

⇒ AK ⊥ (SBC) ⇒ AK ⊥ KH ∈ (SBC)

⇒ ∆AHK vuông tại K

⇒ VS.ABC = \frac{1}{3}.S∆ABC . SA = \frac{1}{6}AC.BC.SA,

Với S∆ABC = \frac{1}{2}AC.BC

Ta có: ∆ABC ⇒ BC = \sqrt{AB^{2}-AC^{2}} = \sqrt{4R^{2}-R^{2}} = √3R

⇒ S∆ABC = \frac{1}{2}AC.BC = \frac{1}{2}R.√3R = \frac{\sqrt{3}}{2}R2.

Ta có (SAC) ⊥ BC (theo chứng minh trên) ⇒ \widehat{SCA} = 600 .

(\widehat{SCA} là góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (SBC) do AC = R)

Trong ∆SAC ⇒ SA = AC.tan600 = R.√3

Từ đó: VS.ABC = \frac{1}{3}.S∆ABC . SA = \frac{1}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}R2.R√3 = \frac{R^{3}}{2} (đvtt)

Đáp số:  VS.ABC = \frac{R^{3}}{2} (đvtt)

Câu hỏi liên quan

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết