Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 43040

Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (T) đường kính AB = 2R. C là một điểm di động trên (T). Trên đường thẳng d vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho SA = R. H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SC. Tìm tập hợp điểm K khi C chạy trên (T). Tìm giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SAHK.

Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (T) đường kính AB = 2R. C là một điểm di động trên (T).

Câu hỏi

Nhận biết

Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (T) đường kính AB = 2R. C là một điểm di động trên (T). Trên đường thẳng d vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho SA = R. H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SC. Tìm tập hợp điểm K khi C chạy trên (T). Tìm giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SAHK.


A.
Max V = \frac{R^{3}\sqrt{5}}{61}
B.
Max V =  \frac{R^{3}\sqrt{5}}{70}
C.
Max V =  \frac{R^{3}\sqrt{5}}{75}
D.
Max V = \frac{R^{3}\sqrt{5}}{45}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta chứng minh được SB ⊥ (AHK) suy ra mặt phẳng (AHK) cố định. Điểm K luôn nhìn đoạn AH dưới một góc vuông nên tập hợp điểm K là đường tròn đường kính AH nằm trong mặt phẳng (AHK).

Tứ diện SAHK có đường cao SH không đổi nên có thể tích lớn nhất khi diện tích đáy AHK lớn nhất.

Tam giác AHK nội tiếp trong đường tròn cố định đường kính AH nên có diện tích lớn nhất khi K là điểm chính giữa của cung tròn AH (có 2 vị trí của K trên đường tròn đường kính AH)

Ta có SB2 = SA2 + AB2 = R2 + 4R2 = 5R2 => SB = R√5

Lại có AH.SB = SA.AB =>AH = \frac{SA.AB}{SB} = \frac{R.2R}{R\sqrt{5}}=\frac{2R}{\sqrt{5}}

SA2 = SH.SB =>SH = \frac{SA^{2}}{SB} = \frac{R^{2}}{R\sqrt{5}} = \frac{R}{\sqrt{5}}

Thể tích VSAHK lớn nhất khi AK.KH lớn nhất khi AK = KH

Hay 2AK2 = AH2 => AK2 = \frac{2R^{2}}{5}

Vậy Max VSAHK  = \frac{1}{3}SH.\frac{1}{2}AH2 = \frac{1}{3}.\frac{R\sqrt{5}}{5}.\frac{1}{2}.\frac{2R^{2}}{5} = \frac{R^{3}\sqrt{5}}{75}

Câu hỏi liên quan

  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết