Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 43057

Trong mặt phẳng Oxy, cho (E): \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1. Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc (E) có hoành độ dương sao cho tam giác AOB vuông tại O và có diện tích nhỏ nhất.

Trong mặt phẳng Oxy, cho (E):  +  = 1. Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc (E)

Câu hỏi

Nhận biết

Trong mặt phẳng Oxy, cho (E): \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1. Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc (E) có hoành độ dương sao cho tam giác AOB vuông tại O và có diện tích nhỏ nhất.


A.
 A\left ( \frac{12}{5} ;\frac{12}{5}\right ), B\left ( \frac{12}{5} ;\frac{-12}{5}\right )
B.
A\left ( \frac{12}{5} ;\frac{-12}{5}\right ), B\left ( \frac{12}{5} ;\frac{12}{5}\right )
C.
A\left ( \frac{12}{5} ;\frac{-12}{5}\right ), B\left ( \frac{12}{5} ;\frac{12}{5}\right ) hoặc A\left ( \frac{12}{5} ;\frac{12}{5}\right ), B\left ( \frac{12}{5} ;\frac{-12}{5}\right )
D.
A(2; \frac{3\sqrt{3}}{2}); B(2; - \frac{3\sqrt{3}}{2})
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Gọi A(xA; yA), B(xB; yB) 

Gọi Phương trình đường thẳng OA là ax + by = 0 (a2 + b2 ≠ 0)

Tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình: \left\{\begin{matrix} ax_{A}+by_{A}=0 & & \\ \frac{x^{2}_{A}}{16}+\frac{y^{2}_{A}}{9}=1 & & \end{matrix}\right. ⇔ \left\{\begin{matrix} x^{2} _{A}=\frac{144b^{2}}{16a^{2}+9b^{2}}& & \\ y^{2} _{A}=\frac{144a^{2}}{16a^{2}+9b^{2}}& & \end{matrix}\right.

Suy ra OA2 = \frac{144(a^{2}+b^{2})}{16a^{2}+9b^{2}}

Phương trình đường thẳng OB vuông góc với OA là: bx - ay = 0

Tương tự: OB2 = \frac{144(a^{2}+b^{2})}{16b^{2}+9a^{2}}

Ta có: \frac{1}{OA^{2}} + \frac{1}{OB^{2}} = \frac{25}{144} ≥ \frac{2}{OA.OB} ⇔ OA.OB  ≥ \frac{144.2}{25}

SABC = \frac{1}{2}OA.OB ≥ \frac{144}{25}

Dấu "=" xảy ra  ⇔ OA = OB  ⇔ 16a2 + 9b2 = 16b2 + 9a2

⇔ a2 = b2 ⇔ \left [\begin{matrix} a=b & & \\ a=-b & & \end{matrix}

* Nếu a = b thì chọn a = b = 1

Tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình: \left\{\begin{matrix} ax_{A}+by_{A}=0 & & \\ \frac{x^{2}_{A}}{16}+\frac{y^{2}_{A}}{9}=1 & & \end{matrix}\right.

Do xA > 0 nên chọn: \left\{\begin{matrix} x_{A}=\frac{12}{5} & & \\ y_{A}=-\frac{12}{5} & & \end{matrix}\right. => A\left ( \frac{12}{5} ;\frac{-12}{5}\right ) => B\left ( \frac{12}{5} ;\frac{12}{5}\right )

* Nếu a = -b. Chọn a = 1, b = -1. Tương tự A\left ( \frac{12}{5} ;\frac{12}{5}\right ), B\left ( \frac{12}{5} ;\frac{-12}{5}\right )

Vậy A\left ( \frac{12}{5} ;\frac{-12}{5}\right ), B\left ( \frac{12}{5} ;\frac{12}{5}\right ) hoặc A\left ( \frac{12}{5} ;\frac{12}{5}\right ), B\left ( \frac{12}{5} ;\frac{-12}{5}\right )

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết