Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 6044

Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz cho 3 điểm A(-1; 3; -2) , B(-3; 7; -18), C(1; -2; 1) và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0. Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA2  - 2MB2 – 3MC2 có giá trị lớn nhất.

Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz cho 3 điểm A(-1; 3; -

Câu hỏi

Nhận biết

Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz cho 3 điểm A(-1; 3; -2) , B(-3; 7; -18), C(1; -2; 1) và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0. Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA2  - 2MB2 – 3MC2 có giá trị lớn nhất.


A.
 M(\frac{5}{2}; -\frac{1}{4}; -\frac{25}{4}).
B.
 M(\frac{5}{2}; -\frac{1}{4}; -\frac{5}{4}).
C.
 M(\frac{5}{2}; \frac{5}{4}; -\frac{25}{4}).
D.
 M(\frac{5}{2}; \frac{1}{4}; -\frac{25}{4}).
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Tìm I (x0; y0; z0) sao cho \overrightarrow{IA}  -  2\overrightarrow{IB}  -  3\overrightarrow{IC}  = \overrightarrow{0} . Ta có:

     \overrightarrow{IA} = (1 – x0; 3 – y0; -2 – z0)  

     \overrightarrow{IB} = (-3 – x0; 7 – y0; -18 – z0) 

     \overrightarrow{IC} =  (1 – x0; -2 – y0; 1 – z0)

Do đó \overrightarrow{IA}  -  2\overrightarrow{IB}  -  3\overrightarrow{IC}  = \overrightarrow{0}.

 ⇔ \left\{\begin{matrix} -1-x_{0}+6+2x_{0}-3+3x_{0}=0\\3-y_{0}-14+22y_{0}+6+3y_{0}=0 \\-2-z_{0}+36+2z_{0}-3+3z_{0}=0 \end{matrix}\right.  ⇔ \left\{\begin{matrix} x_{0}=-\frac{1}{2}\\y_{0}=\frac{5}{4} \\z_{0}=-\frac{31}{4} \end{matrix}\right.

=> I(-\frac{1}{2}; \frac{5}{4}; -\frac{31}{4})

Ta có: MA2  - 2MB2 – 3MC2 = ( \overrightarrow{MI}  +  \overrightarrow{IA})2  -  2(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} )2  -  3(\overrightarrow{MI} +  \overrightarrow{IC} )2  

= -4MI2 + Q (Q = IA2 -2IB2 – 3IC2).

Vậy P lớn nhất  ⇔ MI nhỏ nhất  ⇔ M là chân đường vuông góc từ I xuống mặt phẳng (P). Lại có \overrightarrow{n_{P}} = (2; -1; 1) nên đường qua I vuông góc (P) có phương trình là:

             \left\{\begin{matrix} x=-\frac{1}{2}+2t\\y=\frac{5}{4}-t \\z=-\frac{31}{4}+t \end{matrix}\right.

Thay vào phương trình mặt phẳng (P) ta được tọa độ M thỏa mãn hệ phương trình:

  \left\{\begin{matrix} x=-\frac{1}{2}+2t\\y=\frac{5}{4}-t \\z=-\frac{31}{4} \\2x-y+z+1=0 \end{matrix}\right.⇔\left\{\begin{matrix} x=-\frac{1}{2}+2t\\y=\frac{5}{4}-t \\z=-\frac{31}{4} \\-1+4t-\frac{5}{4}+t-\frac{31}{4}+t+1=0 \end{matrix}\right.

 ⇔ t = \frac{3}{2} => M(\frac{5}{2}; -\frac{1}{4}; -\frac{25}{4}).

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết