Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 37205

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A(0; 1; 1), B(1; 0; -3), C(-1; -2; -3) và mặt cầu (S) có phương trình: x2 + y2 + z2 - 2x + 2z - 2 = 0 Tìm tọa độ điểm D trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A(0; 1; 1), B(1; 0; -3), C(-1; -2

Câu hỏi

Nhận biết

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A(0; 1; 1), B(1; 0; -3), C(-1; -2; -3) và mặt cầu (S) có phương trình: x2 + y2 + z2 - 2x + 2z - 2 = 0

Tìm tọa độ điểm D trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất.


A.
 D(\frac{-7}{3};\frac{-4}{3};\frac{-1}{3})
B.
 D(\frac{7}{3};\frac{-4}{3};\frac{1}{3})
C.
 D(\frac{7}{3};\frac{-4}{3};\frac{-1}{3})
D.
 D(\frac{7}{3};\frac{4}{3};\frac{-1}{3})
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có (S): (x - 1)2 + y2 + (z + 1)2 = 4 suy ra  (S) có tâm I(1; 0;-1), bán kính R = 2

Và \overrightarrow{AB} = (1; -1; -4); \overrightarrow{AC} = (-1; -3; -4)

Mặt phẳng (ABC) có một vec tơ pháp tuyến là \overrightarrow{n}=[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}] = (-8; 8; -4)

Suy ra (ABC) có phương trình: -8x + 8(y - 1) - 4(z - 1) = 0⇔ 2x - 2y + z + 1= 0

Ta có VABCD = \frac{1}{3}.d(D; (ABC)).SABC nên VABCD lớn nhất khi và chỉ khi d(D; (ABC)) lớn nhất

Gọi D1D2 là đường kính của mặt cầu (S) vuông góc với mặt phẳng (ABC)

Ta thấy với D là 1 điểm bất kì thuộc (S) thì

d(D; (ABC))  ≤ max {d (D1; (ABC)); d ( D2, (ABC))}

Dấu = xảy ra khi D trùng với D1 hoặc D2

Đường thẳng D1D2 đi qua I(1; 0; -1) và có vecto pháp tuyến là  \overrightarrow{n_{(ABC)}} = (2; -2; 1)

Do đó (D1D2) có phương trình: \left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=-2t\\ z=-1+t \end{matrix}\right.

Tọa độ điểm D1 và D2 thỏa mãn hệ \left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=-2t\\ z=-1+t\\ (x-1)^{2}+y^{2}+(z+1)^{2}=4 \end{matrix}\right.

⇔ [_{t=\frac{-2}{3}}^{t=\frac{2}{3}}

=> D1(\frac{7}{3};\frac{-4}{3};\frac{-1}{3}) hoặc D2 (\frac{-1}{3};\frac{4}{3};\frac{-5}{3})

Ta thấy: d(D1; (ABC)) > d( D2, (ABC))

Vậy điểm D(\frac{7}{3};\frac{-4}{3};\frac{-1}{3}) là điểm cần tìm 

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết