Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 43067

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC vuông cân tại C với A(5; 3; -5), B(3; -1; -1). Lập phương trình đường thẳng d đi qua đỉnh C của tam giác ABC, nằm trong mặt phẳng (P): 2x - 2y - z = 0 và tạo với mặt phẳng (Q): 2x + y - 2z + 5 = 0 một góc 450.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC vuông cân tại C với A(5; 3; -5), B(3;

Câu hỏi

Nhận biết

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC vuông cân tại C với A(5; 3; -5), B(3; -1; -1). Lập phương trình đường thẳng d đi qua đỉnh C của tam giác ABC, nằm trong mặt phẳng (P): 2x - 2y - z = 0 và tạo với mặt phẳng (Q): 2x + y - 2z + 5 = 0 một góc 450.


A.
 d1: \left\{\begin{matrix} x=2-5t & & \\ y=3+37t & & \\ z=-2-84t & & \end{matrix}\right.; d2: \left\{\begin{matrix} x=2+t & & \\ y=3+t & & \\ z=2 & & \end{matrix}\right.
B.
 d: \left\{\begin{matrix} x=2+t & & \\ y=3+t & & \\ z=-2 & & \end{matrix}\right.
C.
 d: \left\{\begin{matrix} x=2-5t & & \\ y=3+37t & & \\ z=-2-84t & & \end{matrix}\right.
D.
 d1: \left\{\begin{matrix} x=2-5t & & \\ y=3+37t & & \\ z=-2-84t & & \end{matrix}\right.; d2: \left\{\begin{matrix} x=2+t & & \\ y=3+t & & \\ z=-2 & & \end{matrix}\right.
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Vì d đi qua C và d ⊂ (P) nên C ∈ (P) suy ra C(x; y; 2x - 2y)

\overrightarrow{AB} = (-2; -4; 4), \overrightarrow{AC} = (x - 5; y - 3; 2x - 2y + 5), 

\overrightarrow{BC} = (x - 3; y + 1; 2x - 2y + 1)

Vì ∆ABC vuông cân tại C nên ta có: \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=0 & & \\ AC=BC & & \end{matrix}\right.

⇔ \left\{\begin{matrix} (x-5)^{2}+(y-3)^{2}+(2x-2y+5)^{2}=(x-3)^{2}+(y+1)^{2}+(2x-2y+1)^{2} & & \\ (x-5)(x-3)+(y-3)(y+1)+(2x-2y+5)(2x-2y+1)=0 & & \end{matrix}\right.⇔ \left\{\begin{matrix} 12x-24y=-48 & & \\ 5x^{2}+5y^{2}+4x-14y-8xy+17=0 & & \end{matrix}\right.⇔ \left\{\begin{matrix} x-2y=-4 & & \\ 5x^{2} +5y^{2}+4x-14y-8xy+17=0& & \end{matrix}\right. ⇔  \left\{\begin{matrix} x=2 & & \\ y=3 & & \end{matrix}\right. 

=> C(2; 3; -2)

Gọi \overrightarrow{u} = (a, b, c) là vecto chỉ phương của d. Theo 2a - 2b - c = 0 (vì d ⊂ (P)) Ta có: \overrightarrow{u_{d}} = (a; b; 2a - 2b)

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (Q) là:

sin450 = \frac{|2a+b-2(2a-2b)|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+(2a-2b)^{2}.3}} ⇔ (5b - 2a)2 = \frac{9}{2}(5a2 + 5b2 - 8ab) Chọn b = 1 ta có: \left [\begin{matrix} a=1, c = 0 & & \\ a=-\frac{5}{37}, c = -\frac{84}{37} & & \end{matrix}

Chọn \overrightarrow{u} = (1; 1; 0) hoặc \overrightarrow{u} = (-5; 37; -84).

Khi đó ta có hai đường thẳng thỏa mãn là: 

d1: \left\{\begin{matrix} x=2-5t & & \\ y=3+37t & & \\ z=-2-84t & & \end{matrix}\right.; d2: \left\{\begin{matrix} x=2+t & & \\ y=3+t & & \\ z=-2 & & \end{matrix}\right.

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết