Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 376

Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

Câu hỏi

Nhận biết

Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).


A.
Hệ số của x8 là -27156.
B.
Hệ số của x8 là -27157.
C.
Hệ số của x8 là -27158.
D.
Hệ số của x8 là -27159.
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180

⇔ n(n - 1)n = 180 ⇔ (n - 6)(n2 + 5n + 30) = 0 ⇔ n = 6.

Khi đó \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{12} = \left[x^{4}-\left(1-\frac{1}{x}\right)\right]^{12}

= \sum_{k=0}^{12}C^{k}_{12}\left(x^{4}\right)^{12-k}.\left(-1\right)^{k}.\left(1-\frac{1}{x}\right)^{k}

= \sum_{k=0}^{12}C^{k}_{12}x^{48-4k}.\left(-1\right)^{k}.\sum_{i=0}^{k}C^{i}_{k}\left(-\frac{1}{x}\right)^{i}

= \sum_{k=0}^{12}\sum_{i=0}^{k}C^{k}_{12}.C^{i}_{k}\left(-1\right)^{k+i}x^{48-4k-i}.

Số hạng tổng quát chứa x8 ⇔ 48 - 4k - i = 8 với 0 ≤ i ≤ k ≤ 12

⇔ \left\{\begin{matrix}4k+i=40\\0\leq i\leq k\leq 12\end{matrix}\right ⇔ \begin{bmatrix}i=0,k=10\\i=4,k=9\\i=8,k=8\end{bmatrix}.

Suy ra hệ số của x8 là C^{10}_{12}.C^{0}_{10} - C^{9}_{12}.C^{4}_{9} + C^{8}_{12}.C^{8}_{8} = -27159

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết