Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 39576

Giải hệ phương trình với x, y ∈ R ; \begin{cases} x^{2}y-2x^{2}-2y^{2}+5y-2=0\\ \sqrt{y^{2}+1}+\sqrt{x-y}=2xy-x^{2}+\sqrt{x^{2}-2xy+y^{2}+1}+\sqrt{y} \\ \end{cases}

Giải hệ phương trình với x, y ∈ R ;

Câu hỏi

Nhận biết

Giải hệ phương trình với x, y ∈ R ;

\begin{cases} x^{2}y-2x^{2}-2y^{2}+5y-2=0\\ \sqrt{y^{2}+1}+\sqrt{x-y}=2xy-x^{2}+\sqrt{x^{2}-2xy+y^{2}+1}+\sqrt{y} \\ \end{cases}


A.
(x; y) = (2; 2)
B.
(x; y) = (3; 5)
C.
(x; y) = (4; 2)
D.
(x; y) = (1; 3)
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Giải hệ phương trình với x, y ∈ R

\begin{cases} x^{2}y-2x^{2}-2y^{2}+5y-2=0 \: \: \: (1)\\ \sqrt{y^{2}+1}+\sqrt{x-y}=2xy-x^{2}+\sqrt{x^{2}-2xy+y^{2}+1}+\sqrt{y}\: \: \: \: \: (2) \\ \end{cases}

Từ phương trình (2) ta có điều kiện: x ≥ y , y ≥ 0

\sqrt{y^{2}+1} - √y - y2 = \sqrt{(x-y)^{2}+1}-\sqrt{x-y} - (x – y)2

Xét hàm số f(t) = \sqrt{t^{2}+1} - √t - t2  liên tục [0; +∞ )

Có  f'(t) = \frac{1}{\sqrt{t^{2}+1}}-\frac{1}{2\sqrt{t}} - 2t = t(\frac{1}{\sqrt{t^{2}+1}} - 2) - \frac{1}{2\sqrt{t}} < 0, ∀t > 0

Suy ra hàm số nghịch biến (0; +∞ ) nên f(y) = f(x - y) <=> x = 2y

Thay vào (1) ta có  (y – 2)(x2 – x + 1) = 0 <=> y = 2 => x = 4

Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (4; 2).

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết