Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 44777

Giải hệ phương trình sau: \left\{\begin{matrix} x^{2}-y-1=2\sqrt{2x-1} & & \\ y^{3}-8x^{3}+3y^{2}+4y-2x+2=0 & & \end{matrix}\right.

Giải hệ phương trình sau:

Câu hỏi

Nhận biết

Giải hệ phương trình sau: \left\{\begin{matrix} x^{2}-y-1=2\sqrt{2x-1} & & \\ y^{3}-8x^{3}+3y^{2}+4y-2x+2=0 & & \end{matrix}\right.


A.
(x; y) = ( -2 + √2; 3 + 2√2)
B.
(x; y) = ( 2 + √2; 3 + 2√2)
C.
(x; y) = ( 2 - √2; 3 + 2√2)
D.
(x; y) = ( 2 + √2; 3 - 2√2)
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt \left\{\begin{matrix} x^{2}-y-1=2\sqrt{2x-1} \: \: (1)& & \\ y^{3}-8x^{3}+3y^{2}+4y-2x+2=0 \: \: (2)& & \end{matrix}\right.

Điều kiện: x ≥ \frac{1}{2}

Phương trình (2) ⇔ (y + 1)3 + (y + 1) = (2x)3 + 2x

Xét hàm số f(t) = t3 + t có f’(t) = 3t2 + 1 > 0

Suy ra f(t) đồng biến => f(y + 1) = f(2x) ⇔ y = 2x - 1

Thay vào (1) ta được phương trình:

x2 - 2x = 2\sqrt{2x-1} ⇔ (x - 1)2 - 1 = 2\sqrt{2x-1}

Đặt t - 1 = \sqrt{2x-1} (t ≥ 1) ta có hệ:

 \left\{\begin{matrix} (t-1)^{2} =2x-1& & \\ (x-1)^{2}=2t-1 & & \end{matrix}\right. ⇔ \left\{\begin{matrix} t^{2}-2t+2=2x & & \\ x^{2}-2x+2=2t & & \end{matrix}\right.

Trừ vế với vế hai phương trình cho nhau được (t - x)(t + x) = 0 ⇔ \left [\begin{matrix} t=x & & \\ t=-x & & \end{matrix}

* Với t = x

=> x - 1 = \sqrt{2x-1} ⇔ x2 - 4x + 2 = 0 ⇔ x = 2 + √2 = t hoặc

x = 2 - √2 = t (loại)

* Với t = -x => - x - 1 = \sqrt{2x-1} (vô nghiệm)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = ( 2 + √2; 3 + 2√2)

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết