Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Số Phức / Câu hỏi 43572

Chứng minh số phức z với  z = 1 + (1 + i√3) + (1 + i√3)2 + (1+ i√3)3 + …. + (1 + i√3)20 là số thuần ảo ?

Chứng minh số phức z với z = 1 + (1 + i√3) + (1 + i√3)2 + (1+ i√3)3 + …. + (1 + i√3)20

Câu hỏi

Nhận biết

Chứng minh số phức z với 

z = 1 + (1 + i√3) + (1 + i√3)2 + (1+ i√3)3 + …. + (1 + i√3)20 là số thuần ảo ?


A.
z = \dpi{100} \frac{2^{21}-1}{\sqrt{3}} i
B.
z = \dpi{100} \frac{2^{21}+2}{\sqrt{3}} i
C.
z = \dpi{100} \frac{2^{21}+1}{\sqrt{3}} i
D.
z = \dpi{100} \frac{2^{21}-2}{\sqrt{3}} i
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có

z = (1 + i√3) + (1 + i√3)2 + (1 + i√3)3 + ….+ (1 + i√3)20 = \dpi{100} \frac{(1+i\sqrt{3})^{21}-1}{i\sqrt{3}}

Nên 1 + i√3 = 2 (cos \dpi{100} \frac{\pi}{3} + i.sin\dpi{100} \frac{\pi}{3})

=> (1 + i√3)21 = 221(cos7π + i.sin7π) = -221

Vạy z = \dpi{100} \frac{-2^{21}-1}{i\sqrt{3}} = \dpi{100} \frac{2^{21}+1}{\sqrt{3}} i .

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết