Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Tổ Hợp - Xác Suất / Câu hỏi 42373

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có: 12C^{1}_{n} + 22C^{2}_{n} + ... + n2C^{n}_{n} = n(n + 1).2n-2

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có: 12 + 22 + ... + n2 =

Câu hỏi

Nhận biết

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có:

12C^{1}_{n} + 22C^{2}_{n} + ... + n2C^{n}_{n} = n(n + 1).2n-2


A.
Xem phần lời giải
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Từ (1 + x)n = C^{0}_{n} + C^{1}_{n}x + ... + C^{n}_{n}xn. Lấy đạo hàm cấp 1 và cấp 2 ta có:

n(1 + x)n = 1.C^{1}_{n} + 2.C^{2}_{n}x + ... + n.C^{n}_{n}xn-1 (1)

n(n - 1)(1 + x)n-2 = 2.1.C^{2}_{n} + 3.2.C^{3}_{n}x + ... + n(n - 1)C^{n}_{n}xn-2  (2)

Trong (1) và (2) lần lượt cho x = 1 ta được:

n2n-1 = 1.C^{1}_{n} + 2.C^{2}_{n} + ... + n.C^{n}_{n} (3)

n(n - 1)2n-2 = 2.1.C^{2}_{n} + 3.2.C^{3}_{n} + ... + n(n - 1).C^{n}_{n} (4)

Ta có \sum_{k=1}^{n}k2C^{k}_{n} = \sum_{k=1}^{n}[k(k - 1) + k]C^{k}_{n} = \sum_{k=1}^{n}k(k - 1)C^{k}_{n} + \sum_{k=1}^{n}k.C^{k}_{n}

= n(n - 1).2n-2 + n.2n-1 (từ (3) và (4))

= n(n + 1).2n-2

Vậy 12C^{1}_{n} + 22C^{2}_{n} + ... + n2C^{n}_{n} = n(n + 1).2n-2

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết