Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Số Phức / Câu hỏi 3511

Cho z là số phức thỏa mãn (1 - z)(i + \overline{z}) là số ảo. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của T = |z - i|

Cho z là số phức thỏa mãn (1 - z)(i +

Câu hỏi

Nhận biết

Cho z là số phức thỏa mãn (1 - z)(i + \overline{z}) là số ảo. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của T = |z - i|


A.
maxT = 0 minT = -1
B.
maxT = √2 minT = 0
C.
maxT = 0 minT = -√2
D.
maxT = 1 minT = 0
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt z = x + yi (x, y ∈ \mathbb{R}). Khi đó

(1 - z)(i + \overline{z}) = ((1 - x) - yi)(x - (y - 1)i)

= (1 - x)x - y(y - 1) - ((1 - x)(y - 1) + yx)i

Số (1 - z)(i + \overline{z}) là số ảo ⇔ (1 - x)x - y(y - 1) = 0

⇔ x2 – x + y2 – y = 0

⇔ ( x - \frac{1}{2})2 + (y - \frac{1}{2})2 = \frac{1}{2}

⇔ (\dpi{100} \small \sqrt{2}x - \frac{1}{\sqrt{2}} )2 + (\dpi{100} \small \sqrt{2}y - \frac{1}{\sqrt{2}})2 = 1

Đặt \left\{\begin{matrix} \sqrt{2}x-\frac{1}{\sqrt{2}}=sin\alpha \\ \sqrt{2}y-\frac{1}{\sqrt{2}}=cos\alpha \end{matrix}\right. ⇔ \left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{\sqrt{2}}sin\alpha +\frac{1}{2}\\ y=\frac{1}{\sqrt{2}}cos\alpha +\frac{1}{2} \end{matrix}\right.

Khi đó T2 = |z – i|2 = |x + (y – 1)i|2 = x2 + (y – 1)2

= (\frac{1}{\sqrt{2}}sinα +  \frac{1}{2})2 + (\frac{1}{\sqrt{2}}cosα -  \frac{1}{2})2 

= 1 + \frac{1}{\sqrt{2}}(sinα - cosα) = 1 + sin(α - \frac{\pi }{4})

Ta có T ≤ √2, dấu đẳng thức khi sin(α - \frac{\pi }{4}) = 1 hay x = 1, y = 0; và

T ≥ 0, dấu đẳng thức khi sin(α - \frac{\pi }{4}) = -1 hay x = 0, y = 1

Vậy maxT = √2, đạt khi z = 1; minT = 0, đạt khi z = i

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết