Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 13965

Cho x,y,z là ba số thực thuộc đoạn [1;4] và x≥y; x≥z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=frac{x}{2x+3y}+frac{y}{y+z}+frac{z}{x+z}

Cho x,y,z là ba số thực thuộc đoạn [1;4] và x≥y; x≥z. Tìm giá trị nhỏ nh

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x,y,z là ba số thực thuộc đoạn [1;4] và x≥y; x≥z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=frac{x}{2x+3y}+frac{y}{y+z}+frac{z}{x+z}


A.
 Pmin=frac{34}{33} 
B.
 Pmin=frac{3}{4} 
C.
 Pmin=frac{14}{33}
D.
 Pmin=frac{34}{23}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Trước tiên ta đi chứng minh:

frac{1}{1+a}+frac{1}{1+b}≥frac{2}{1+sqrt{ab}}, với a,b dương và ab≥1

Thật vậy, biến đổi bất đẳng thức về dạng:

frac{1+b+1+a}{(1+a)(1+b)}≥frac{2}{1+sqrt{ab}} <=> (a+b+2)(1+sqrt{ab})≥2(1+a)(1+b)

<=>(a+b)sqrt{ab}+2sqrt{ab}≥a+b+2ab <=>(a+b)(sqrt{ab}-1)-2sqrt{ab}(sqrt{ab}-1)≥0

<=>(a+b-2sqrt{ab})sqrt{ab}-1)≥0 <=>(sqrt{a}-sqrt{b})^{2}(sqrt{ab}-1)≥0

Bất đẳng thức trên luôn đúng với a,b dương, ab≥1 và dấu "=" xay ra khi và chỉ khi a=b hoặc ab=1

Áp dụng bất đẳng thức trên, bằng việc viết lại P dưới dạng:

P=frac{1}{2+3frac{y}{x}}+frac{1}{1+frac{z}{y}}+frac{1}{1+frac{x}{z}}≥frac{1}{2+3frac{y}{x}}+frac{2}{1+sqrt{frac{x}{y}}}

Dấu "=" xảy ra khi frac{z}{y}=frac{x}{z} hoặc frac{x}{y}=1

Đặt t=sqrt{frac{x}{y}}, t∈[1;2] xét hàm số g(t)=frac{1}{2+frac{3}{t^{2}}}+frac{2}{1+t}==frac{t^{2}}{2t^{2}+3}+frac{2}{1+t}

Trên [1;2]

Ta có:

g'(t)=frac{2t(2t^{2}+3)-4t.2t^{2}}{(2t^{2}+3)^{3}} - frac{2}{(1+t)^{2}}

=frac{2[t(2t^{2}+3)-4t^{3}](1+t)^{2}-2(2t^{2}+3)^{2}}{(2t^{2}+3)^{2}(1+t)^{2}}

= - frac{2[t^{3}(4t-3)+3t(2t-1)+9]}{(2t^{2}+3)^{2}(1+t)^{2}} <0

=> Hàm số g(t) nghịch biến trên [1;2] => g(t)≥g(2)=frac{34}{33}

Dấu "=" xảy ra khi: t=2<=> sqrt{frac{x}{y}}=2 <=> frac{x}{y}=4<=> x=4y<=> left{begin{matrix} x=4\y=1 end{matrix}right.

Từ đó ta có Pmin=frac{34}{33} đạt được khi:

left{begin{matrix} x=4,y=1\frac{z}{y}=frac{x}{z} end{matrix}right.<=> left{begin{matrix} x=4,y=1\z=2 end{matrix}right.

Vậy ta có Pmin=frac{34}{33} đạt được khi x=4, y=1,z=2

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết