Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 31741

Cho x, y,z, t \in(1;2]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=log_{yzt}(x^{2}+4x-4)+log_{xzt}(y^{2}+4y-4)+log_{xyt}(z^{2}+4z-4)+log_{xyz}(t^{2}+4t-4)

Cho x, y,z, t

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y,z, t \in(1;2]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=log_{yzt}(x^{2}+4x-4)+log_{xzt}(y^{2}+4y-4)+log_{xyt}(z^{2}+4z-4)+log_{xyz}(t^{2}+4t-4)


A.
4
B.
6
C.
8
D.
10
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: x\in(1;2]   =>(x-1)(x2-4) \leq 0 => x2+4x-4 \geq x3. Mặt khác do yzt>1 nên ta có: log_{yzt}(x^{2}+4x-4)\geq log_{yzt}(x^{3})

Chứng minh tương tự ta có:

log_{xzt}(y^{2}+4y-4)\geq log_{xzt}(y^{3});log_{xyt}(z^{2}+4z-4)\geq log_{xyt}(z^{3});

log_{xyz}(t^{2}+4t-4)\geq log_{xyz}(t^{3})

Từ đó suy ra: P\geq log_{yzt}(x^{3})+log_{xzt}(y^{3})+log_{xyt}(z^{3})+log_{xyz}(t^{3})=Q

Đặt a=yzt; b=xzt; c=xyt; d=xyz.

Ta có a,b,c,d >1 và x^{3}=\frac{bcd}{a^{2}};y^{3}=\frac{acd}{b^{2}};z^{3}=\frac{abd}{c^{2}};t^{3}=\frac{abc}{d^{2}}

Do đó: Q=log_{a}(\frac{bcd}{a^{2}})+log_{b}(\frac{acd}{b^{2}})+log_{c}(\frac{abd}{c^{2}})+log_{d}(\frac{abc}{d^{2}})=(log_{a}b+log_{b}a)+(log_{a}c+log_{c}a)+(log_{a}d+log_{d}a)+(log_{c}c+log_{c}b)+(log_{b}d+log_{d}b)+(log_{c}d+log_{d}c)-8

Với hai số thực p,q >1 ta có: log_{p}q+lg_{q}p\geq 2\sqrt{log_{p}q.log_{q}p}=2

Do đó: P\geq Q\geq2+2+2+2+2+2-8=4

Khi x=y=z=t=2 thì P=4. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết