Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 39228

Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn: z(z - x - y) = x + y + 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = \frac{x^{4}y^{4}}{(x+yz).(y+zx).(z+xy)^{3}}

Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn: z(z - x - y) = x + y + 1 Tìm giá trị lớn nhất

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn: z(z - x - y) = x + y + 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = \frac{x^{4}y^{4}}{(x+yz).(y+zx).(z+xy)^{3}}


A.
 Max T = 1 
B.
 Max T = \frac{3^{6}}{4^{9}} 
C.
 Max T = \frac{3^{6}}{4^{5}} 
D.
 Max T =  \frac{3^{5}}{4^{9}} 
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Vì z(z - x - y ) = x + y + 1 => (z + 1)(x + y) = z2 - 1 và do z > 0 nên ta có:

x + y + 1 = z

Khi đó: T = \frac{x^{4}y^{4}}{(x+y)(1+y)(x+y)(1+x)[(x+1)(y+1)]^{3}}

= \frac{x^{4}y^{4}}{(x+y)^{2}.[(x+1)(y+1)]^{4}}

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho các số dương x, y ta có:

(x + 1)4 = (\frac{x}{3}+\frac{x}{3}+\frac{x}{3}+1)^{4} ≥ (4\sqrt[4]{\frac{x^{3}}{27}})^{4} = 44. \frac{x^{3}}{27}

(y + 1)4 = (\frac{y}{3}+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}+1)^{4} ≥ (4\sqrt[4]{\frac{y^{3}}{27}})^{4} = 44. \frac{y^{3}}{27}, (x + y)2 ≥ 4xy

Do đó (x + y)2.[(x + 1)(y + 1)]4 ≥ 4xy.48.\frac{x^{3}.y^{3}}{3^{6}} = \frac{4^{9}}{3^{6}}.x4.y4.

Suy ra T ≤ \frac{3^{6}}{4^{9}} (*)

Dấu = ở (*) xảy ra khi \left\{\begin{matrix} \frac{x}{3}=\frac{y}{3}=1\\ z=x+y+1 \end{matrix}\right.⇔ x = 3, y = 3, z = 7

Vậy Max T = \frac{3^{6}}{4^{9}} khi x = 3, y = 4, z = 7

Câu hỏi liên quan

  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết