Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 11369

Cho x , y , z là ba số thực thuộc đoạn [1 ; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \small \frac{x}{2x+3y} + \small \frac{y}{y+z} + \small \frac{z}{z+x}

Cho x , y , z là ba số thực thuộc đoạn [1 ; 4] và x≥ y, x≥ z

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x , y , z là ba số thực thuộc đoạn [1 ; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \small \frac{x}{2x+3y} + \small \frac{y}{y+z} + \small \frac{z}{z+x}


A.
minP = 2
B.
minP = \frac{34}{33}
C.
minP = 1
D.
minP = -\frac{34}{33}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

P = \small \frac{x}{2x+3y} + \small \frac{y}{y+z} + \small \frac{z}{z+x}

Lấy đạo hàm theo z ta có: P'(z) = 0 + \small \frac{-y}{(y+z)^{2}} + \small \frac{x}{(z+x)^{2}} = \small \frac{(x-y)(z^{2}-xy)}{(y+z)^{2}(z+x)^{2}}

+Nếu x = y thì P = \frac{6}{5}

+Ta xét x > y thì P ≥ P(\sqrt{xy}) = \small \frac{x}{2x+3y} + \small \frac{2\sqrt{y}}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}

Khảo sát hàm P theo z, ta có P nhỏ nhất khi z = \sqrt{xy}

Đặt t = \sqrt{\frac{x}{y}} ⇒ P thành f(t) = \small \frac{t^{2}}{2t^{2}+3} + \small \frac{2}{1+t} (t ∈ (1 ; 2])

⇒ f'(t) = \small \frac{-2[4t^{3}(t-1)+3(2t^{2}-t+3)]}{(2t^{2}+3)^{2}(t+1)^{2}} < 0 

Vậy P ≥ f(t) ≥ f(2) = \frac{34}{33}. Dấu "=" xảy ra khi x = 4, y = 1, z = 2. Vậy minP = \frac{34}{33}

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết