Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 5424

Cho x, y, z >0 và x + y + z = 1. Chứng minh rằng:                 \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 4.\left ( \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z} \right )

Cho x, y, z >0 và x + y + z = 1. Chứng minh rằng: &

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y, z >0 và x + y + z = 1. Chứng minh rằng:                 \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 4.\left ( \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z} \right )


A.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-copski
B.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-copski và Co- si
C.
Áp dụng bất đẳng thức Co-si
D.
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình điều hòa AM - HM
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Theo bất đẳng thức Co-si với hai số dương a, b ta có:

             a + b ≥ 2\sqrt{ab}; \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq 2\sqrt{\frac{1}{ab}} =>(a+b)\left ( \frac{1}{a} +\frac{1}{b}\right ) ≥ 4

             => \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}.

Áp dụng:

               \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y} ; \frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{4}{y+z}; \frac{1}{z}+\frac{1}{x}\geq \frac{4}{z+x};

Cộng các vế tương ứng và rút gọn ta có:

               \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x}    (1)

Lại áp dụng tương tự ta có:

               \frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\geq \frac{2}{x+2y+z}+\frac{2}{y+2z+x}+\frac{2}{z+2x+y}=\frac{2}{1+x}+\frac{2}{1+y} +\frac{2}{1+z}     (2)

(Do x + y + z = 1)

Từ (1) và (2) => đpcm

 

 

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết