Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 40231

Cho x, y là hai số dương thỏa mãn x + y  ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  P = \sqrt{4x^{2}+\frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{4y^{2}+\frac{1}{y^{2}}} - (\frac{x}{x^{2}+1} + \frac{y}{y^{2}+1}).

Cho x, y là hai số dương thỏa mãn x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  P

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y là hai số dương thỏa mãn x + y  ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 

P = \sqrt{4x^{2}+\frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{4y^{2}+\frac{1}{y^{2}}} - (\frac{x}{x^{2}+1} + \frac{y}{y^{2}+1}).


A.
 min P = √5 + \frac{4}{5}
B.
 min P = √5 - \frac{4}{5}
C.
 min P = 2√5 + \frac{4}{5}
D.
 min P = 2√5 - \frac{4}{5}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có : 0 < \sqrt{xy} ≤ \frac{x+y}{2} ≤  \frac{1}{2}

\sqrt{4x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}\sqrt{1^{2}+2^{2}} ≥  \frac{1}{\sqrt{5}}(2x + \frac{2}{x});

\sqrt{4y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}\sqrt{1^{2}+2^{2}}  ≥  \frac{1}{\sqrt{5}}(2y + \frac{2}{y})

P ≥ \frac{2}{\sqrt{5}}(x + y + \frac{1}{x}+\frac{1}{y}) ≥  \frac{4}{\sqrt{5}}(\sqrt{xy}+\frac{1}{\sqrt{xy}})

≥ \frac{4}{\sqrt{5}}(\frac{1}{\sqrt{xy}}+4\sqrt{xy}-3{\sqrt{xy}}) ≥ \frac{4}{\sqrt{5}}(2√4 - \frac{3}{2}) = 2√5

\frac{1}{x^{2}+1} =  \frac{1}{x^{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}} ≤\frac{1}{x+\frac{3}{4}} = \frac{4}{4x+3}

Tương tự ta có: 

\frac{x}{x^{2}+1}+\frac{y}{y^{2}+1} ≤ \frac{4x}{4x+3}+\frac{4y}{4y+3} = 2 - 3(\frac{1}{4x+3}+\frac{1}{4y+3})

≤ 2 - 3\frac{4}{4x+4y+6} ≤ 2 - \frac{3}{1}.\frac{2}{5} = \frac{4}{5}

Vậy P ≥ 2√5 - \frac{4}{5}. Dấu '=' xảy ra khi x = y = \frac{1}{2}

Vậy min P = 2√5 - \frac{4}{5}

Câu hỏi liên quan

  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết