Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 12306

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤y -1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = \frac{x+y}{\sqrt{x^{2}-xy+3y^{2}}} - \frac{x-2y}{6(x+y)}.

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤y -1. Tìm giá trị l

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤y -1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = \frac{x+y}{\sqrt{x^{2}-xy+3y^{2}}} - \frac{x-2y}{6(x+y)}.


A.
Giá trị lớn nhất của P là - \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{7}{30}.
B.
Giá trị lớn nhất của P là - \frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{7}{30}.
C.
Giá trị lớn nhất của P là \frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{7}{30}.
D.
Giá trị lớn nhất của P là \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{7}{30}.
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Do x > 0, y > 0, xy ≤ y -1 nên 0 < \frac{x}{y} ≤ \frac{y-1}{y^{2}} = \frac{1}{y} - \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{4}- (\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{2}})2 ≤ \frac{1}{4}.

Đặt t = \frac{x}{y}, suy ra 0 < t ≤ \frac{1}{4}. Khi đó P = \frac{t+1}{\sqrt{t^{2}-t+3}} - \frac{t-2}{6(t+1)}

Xét f(t) =\frac{t+1}{\sqrt{t^{2}-t+3}} - \frac{t-2}{6(t+1)}, với 0 < t ≤ \frac{1}{4}.

Ta có f’(t) = \frac{7-3t}{2\sqrt{(t^{2}-t+3)^{3}}} - \frac{1}{2(t+1)^{2}}.

Với 0 < t ≤ \frac{1}{4} ta có t2 – t + 3 = t(t -1) + 3  < 3; 7 – 3t > 6 và t + 1 > 1.

Do đó \frac{7-3t}{2\sqrt{(t^{2}-t+3)^{3}}}  > \frac{7-3t}{6\sqrt{3}}> \frac{1}{\sqrt{3}} và -\frac{1}{2(t+1)^{2}} > - \frac{1}{2}.

Suy ra f’(t) >\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{2} > 0.

Do đó P = f(t) ≤ f(\frac{1}{4} ) = \frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{7}{30}.

Khi x = \frac{1}{2} và  y = 2, ta có P =\frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{7}{30}.

Vậy giá trị lớn nhất của P là \frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{7}{30}.

Câu hỏi liên quan

  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết