Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 9504

Cho x, y là các số dương thỏa mãn  \frac{1}{xy} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : M = \frac{3y}{x(y+1)}+ \frac{3x}{y(x+1)} + \frac{1}{x+y} - \frac{1}{x^{2}}  - \frac{1}{y^{2}}

Cho x, y là các số dương thỏa mãn

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y là các số dương thỏa mãn  \frac{1}{xy} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : M = \frac{3y}{x(y+1)}+ \frac{3x}{y(x+1)} + \frac{1}{x+y} - \frac{1}{x^{2}}  - \frac{1}{y^{2}}


A.
Giá trị lớn nhất của M bằng \frac{9}{2} .
B.
Giá trị lớn nhất của M bằng \frac{7}{2} .
C.
Giá trị lớn nhất của M bằng \frac{3}{2} .
D.
Giá trị lớn nhất của M bằng \frac{5}{2} .
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt a = \frac{1}{x}> 0, b = \frac{1}{y} > 0, theo đề bài có:

3 – (a + b) = ab ≤ \frac{(a+b)^{2}}{4}(BĐT Cô – si) kết hợp với a + b > 0 suy ra a + b  ≥ 2

Tìm giá trị lớn nhất của P = \frac{3a}{b+1} + \frac{3b}{a+1} + \frac{ab}{a+b} - a2 – b2 + 3\frac{(a+b)^{2}-2ab+a+b}{ab+a+b+1} - + \frac{ab}{a+b}- (a + b)2 + 2ab = \frac{1}{4}[-(a + b)2 + a + b +\frac{12a}{a+b} + 2]

Đặt t = a + b ≥ 2 xét hàm số: g(t) = -t2 + t + \frac{12}{t} + 2

g’(t) = -2t - \frac{12}{t^{2}}+ 1 < 0, ∀t ≥ 2

Suy ra g(t) nghịch biến trên (2;+ ∞)

Do đó \max_{[2,+]}g(t) = g(2) = 6 suy ra giá trị lớn nhất của M bằng \frac{3}{2} đạt khi a = b = 1⇔ x = y = 1

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết