Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 39368

Cho \frac{1}{3} < x ≤ \frac{1}{2} và y ≥ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =  x2 + y2 + \frac{x^{2}y^{2}}{[(4x-1)y-x]^{2}}

Cho < x ≤  và y ≥ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =  x2 +

Câu hỏi

Nhận biết

Cho \frac{1}{3} < x ≤ \frac{1}{2} và y ≥ 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =  x2 + y2 + \frac{x^{2}y^{2}}{[(4x-1)y-x]^{2}}


A.
MinP = \frac{9}{4}
B.
MinP =  \frac{3}{4}
C.
MinP = \frac{5}{4}
D.
MinP = \frac{7}{4}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt a = \frac{1}{x}, b = \frac{1}{y}, 0 < b ≤ 1, 2 ≤ a < 3, P = \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{(4-a-b)^{2}}

Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho \frac{1}{b^{2}},\frac{1}{(4-a-b)^{2}} ta có:

P ≥  \frac{1}{a^{2}}+\frac{2}{(4-a-b)b} ≥ \frac{1}{a^{2}}+\frac{8}{(4-a)^{2}} (áp dụng cô si cho 4 - a - b)

≥ \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{(4-a)^{2}}+\frac{7}{(4-a)^{2}}≥\frac{2}{(4-a)a}+\frac{7}{(4-a)^{2}} 

(cô-si cho \frac{1}{a^{2}} và \frac{1}{(4-a)^{2}})

≥ \frac{9}{4} ( vì (4 - a)a ≤ 4 và (4 – a )2 ≤ 4 (với 2 ≤ a < 3)

Dấu bằng xảy ra khi \left\{\begin{matrix} a=2\\ b=1 \end{matrix}\right. tức \left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2}\\ y=1 \end{matrix}\right. 

Vậy MinP = \frac{9}{4}.

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết