Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 43913

Cho tam giác đều ABC cạnh a và tam giác cân SAB đỉnh S không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AC, biết góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (ABC) là 600, SA = \frac{a\sqrt{21}}{6}, SC < HC. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa HK và mp (SBC) theo a.

Cho tam giác đều ABC cạnh a và tam giác cân SAB đỉnh S không cùng nằm trong một mặt phẳng.

Câu hỏi

Nhận biết

Cho tam giác đều ABC cạnh a và tam giác cân SAB đỉnh S không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AC, biết góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (ABC) là 600, SA = \frac{a\sqrt{21}}{6}, SC < HC. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa HK và mp (SBC) theo a.


A.
V_{S.ABC}=\frac{a^e_3\sqrt{3}}{24}; d(HK,(SBC))=\frac{3a}{8}
B.
V_{S.ABC}=\frac{a^e_3\sqrt{5}}{24}; d(HK,(SBC))=\frac{3a}{8}
C.
V_{S.ABC}=\frac{a^e_3\sqrt{3}}{24}; d(HK,(SBC))=\frac{5a}{8}
D.
V_{S.ABC}=\frac{a^e_3\sqrt{7}}{24}; d(HK,(SBC))=\frac{3a}{8}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

∆SAC cân tại S và ∆ABC đều có H là trung điểm AB\perp nên SH \perpAB, CH \perpAB => AB \perp(SHC) mà AB= (SAB) \cap(ABC) nên góc giữa (SAB) và (ABC) bằng góc giữa SH và CH do CH > SC nên \widehat{SHC} nhọn => \widehat{SHC}=600

Thể tích S.ABC là:

 VS.ABC = VS.ACH + VS.BCH=\frac{AH.S_{\Delta SCH}}{3}+\frac{BH.S_{\Delta SCH}}{3}=\frac{AB.S_{\Delta SCH}}{3}

∆ABC đều cạnh a có đường cao là:

CH=\frac{a\sqrt{3}}{2}, SH=\sqrt{SA^{2}-AH^{2}}=\sqrt{\frac{21a^{2} }{36}-\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}

Diện tích ∆SHC là:

S_{\Delta SHC}=\frac{1}{2}SH.CH.sin\widehat{SHC}=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}sin60^e_0=\frac{a^e_2\sqrt{3}}{8}

\Rightarrow V_{S.ABC}=\frac{a^e_3\sqrt{3}}{24}

H, K là trung điểm của AB, AC nên HK là đường trung bình của ∆ABC => HK//BC

\Rightarrow HK//(SBC) nên d(HK, (SBC))= \frac{3.V_{S.HBC}}{S_{\Delta SBC}}=\frac{3.V_{S.ABC}}{S_{\Delta SBC}}

Theo định lý cô sin trong tam giác SHC có:

SC=\sqrt{SH^{2}+CH^{2}-2.SH.CH.cos60^{0}}=\frac{a\sqrt{21}}{6}

Nên ∆SBC cân tại S. gọi I là trung điểm BC

\Rightarrow SI=\sqrt{SC^{2}-CI^{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow S_{\Delta SBC}=\frac{1}{2}SI.BC=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{6}\Rightarrow d(HK,(SBC))=\frac{3a}{8}

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết