Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Số Phức / Câu hỏi 42293

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: \frac{(1+i)z}{1-\sqrt{3}+(1+\sqrt{3})i} có một acgumen bằng -\frac{\Pi }{6} và │z│=│2\bar{z} - √3 + i│. Tính mô đun của số phức z .

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: có một acgumen bằng  và │z│=│2 - √3 + i│. Tính

Câu hỏi

Nhận biết

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: \frac{(1+i)z}{1-\sqrt{3}+(1+\sqrt{3})i} có một acgumen bằng -\frac{\Pi }{6} và │z│=│2\bar{z} - √3 + i│. Tính mô đun của số phức z .


A.
z = √3 + i
B.
z = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{3}i
C.
z = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{5}i
D.
cả A và B
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: \frac{1+i}{1-\sqrt{3}+(1+\sqrt{3})i} 

= \frac{1+i}{(1-\sqrt{3})^{2}+(1+\sqrt{3})^{2}}[(1 - √3) - (1 + √3)i]

= \frac{1-\sqrt{3}i}{4} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\left - \frac{\sqrt{3}}{2}i) = \frac{1}{2}\left[cos(- \frac{\Pi }{3}) + i.sin(- \frac{\Pi }{3})]

Đặt z = r(cos\varphi + isin\varphi); r > 0

Khi đó: \frac{1+i}{1-\sqrt{3}+(1+\sqrt{3})i}z=\frac{r}{2}\left [ cos\left ( \varphi -\frac{\Pi }{3} \right )+isin\left ( \varphi -\frac{\Pi }{3} \right ) \right ]

Theo đề bài ta có: \varphi -\frac{\Pi }{3}=-\frac{\Pi }{6}\Rightarrow z=\frac{r.\sqrt{3}}{2}+\frac{r}{2}i

Từ giả thiết của bài toán ta có: \left | \frac{r\sqrt{3}}{2}+\frac{r}{2}i \right |=\left | \sqrt{3}r-ri-\sqrt{3}+i \right |

<=> \left ( \frac{\sqrt{3}r}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{r}{2} \right )^{2} = 3.(r  - 1)2 +  (r  - 1)2 <=> \begin{bmatrix} r=2\\ r=\frac{2}{3} \end{matrix} 

Vậy có 2 số phức z = √3 + i hoặc z = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{3}i

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết