Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 46635

Cho nửa đường tròn O, đườngkính AB cố định. H là một điểm bất kì trên cung \dpi{100} \widehat{AB}. Trên tia BH lấy một điểm D sao cho H là trung điểm của BD. Đoạn thẳng DO cắt AH tại M. Tìm quỹ tích điểm M.

Cho nửa đường tròn O, đườngkính AB cố định. H là một điểm bất kì trên cung . Trên tia BH

Câu hỏi

Nhận biết

Cho nửa đường tròn O, đườngkính AB cố định. H là một điểm bất kì trên cung \dpi{100} \widehat{AB}. Trên tia BH lấy một điểm D sao cho H là trung điểm của BD. Đoạn thẳng DO cắt AH tại M. Tìm quỹ tích điểm M.


A.
Xem phần lời giải
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Phần thuận : Dễ dàng nhận thấy M là trọng tâm của tam giác ABD nên 

\dpi{100} \frac{AM}{AH} = \dpi{100} \frac{2}{3}. Từ M kẻ MN // OH .

Ta có \dpi{100} \frac{AN}{AO} = \dpi{100} \frac{AM}{AH} = \dpi{100} \frac{MN}{OH} = \dpi{100} \frac{2}{3}

Từ hệ thức này suy ra N là một điểm cố định vì A, O cố định ;

MN = \dpi{100} \frac{2}{3}OH ( OH là bán kính đường tròn tâm O đường kính AB) nên OH = R không đổi. Do đó M nằm trên nửa đường tròn (N, \dpi{100} \frac{2}{3}R) cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB chứa nửa đường tròn đã cho 

Phần đảo: Lấy một điểm M' ∈ ( N, \dpi{100} \frac{2}{3}R) (R là bán kính đường tròn (O)) 

AM' cắt đường tròn (O; R) tại H' .Trên tia BH' lấy điểm D' sao cho H'D' = H'B. Nối D' với O ta phải chúng minh OD' đi qua M'

Thật vậy, xét ∆AOH' có \dpi{100} \frac{NM'}{OH'} = \dpi{100} \frac{\frac{2}{3}R}{R} = \dpi{100} \frac{2}{3} ( do M' ∈ ( N, \dpi{100} \frac{2}{3}R)) và H' ∈ (O; R) nên 

\dpi{100} \frac{AN}{AO} = \dpi{100} \frac{NM'}{OH'} = \dpi{100} \frac{2}{3} => MN' // OH'

Vậy  \dpi{100} \frac{AM'}{AH'} = \dpi{100} \frac{2}{3} => M' là trọng tâm của ∆AND'. Do đó trung tuyến D'O phải đi qua M'

Kết luận : Quỹ tích điểm M là đường tròn (N, r) ( r = \dpi{100} \frac{2}{3}R) cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB và chứa nửa đường tròn (O; R), (N nằm trên bán kính OA và \dpi{100} \frac{AN}{AO} = \dpi{100} \frac{2}{3})

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết