Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Tổ Hợp - Xác Suất / Câu hỏi 8692

Cho n là số tự nhiên, n ≥ 2. Tính S = \sum_{k=1}^{n}k2C_{n}^{k}  2k = 12. C_{n}^{1} .2 + 22C_{n}^{2} .22 + … + n2.C_{n}^{n} .2n

Cho n là số tự nhiên, n≥ 2. Tính S =

Câu hỏi

Nhận biết

Cho n là số tự nhiên, n ≥ 2. Tính S = \sum_{k=1}^{n}k2C_{n}^{k}  2k = 12. C_{n}^{1} .2 + 22C_{n}^{2} .22 + … + n2.C_{n}^{n} .2n


A.
S = n.3n + 2 (2 - 4n)
B.
S = n.3n – 2 (2 + 4n)
C.
S = n.3n + 2 (2 + 4n)
D.
S = n.3n – 2 (2 - 4n)
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

S = \sum_{k=1}^{n}k2C_{n}^{k}  2k = 12. C_{n}^{1} .2 + 22C_{n}^{2} .22 + … + n2.C_{n}^{n} .2n

= \sum_{k=1}^{n}k(k - 1)C_{n}^{k} 2k + \sum_{k=1}^{n}kC_{n}^{k} 2k 

Xét khai triển (1 + x)n =\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k} xk

 - n(1 + x)n – 1 = \sum_{k=1}^{n}kC_{n}^{k} xk – 1 , lấy x = 2 ta được

n.3n – 1 = \sum_{k=1}^{n}kC_{n}^{k} 2k – 1 ⇔ 2n.3n – 1 =\sum_{k=1}^{n} kC_{n}^{k} 2k

- n(n – 1)(1 + x)n – 2 = \sum_{k=2}^{n}k(k – 1)C_{n}^{k} xk – 2 , lấy x = 2 ta được

n(n – 1).3n – 2 = \sum_{k=2}^{n}k(k – 1)C_{n}^{k} xk – 2 ⇔ 4n(n – 1)3n – 2 =\sum_{k=2}^{n}k(k – 1)C_{n}^{k} 2k

Vậy S = n.3n – 2 (2 + 4n)

 

Câu hỏi liên quan

  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết