Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 6569

Cho một lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân đỉnh A, \widehat{ABC}=α, BC' hợp với đáy (ABC) một góc β. Gọi I là trung điểm của AA'. Biết rằng góc BIC là góc vuông 1. chứng tỏ rằng BIC là tam giác vuông cân (học sinh tự chứng minh) 2. Chứng minh rằng tan2α+tan2β=1

Cho một lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân đỉnh A, 

Câu hỏi

Nhận biết

Cho một lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân đỉnh A, \widehat{ABC}=α, BC' hợp với đáy (ABC) một góc β. Gọi I là trung điểm của AA'. Biết rằng góc BIC là góc vuông 1. chứng tỏ rằng BIC là tam giác vuông cân (học sinh tự chứng minh) 2. Chứng minh rằng tan2α+tan2β=1


A.
IA2+AD2=\frac{a^{2}}{4} 
B.
 IA2+AD2=\frac{a^{2}}{9} 
C.
 IA2+AD2=\frac{3a^{2}}{4} 
D.
 IA2+AD2=\frac{a^{2}}{16} 
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

1. Đặt h=BB', a=B'C'. Gọi D là trung điểm BC. Vì lăng trụ đã cho là lăng trụ đứng nên các tam giác IAC và IAB đều vuông ở A và ta có

IB2=IA2+AB2; IC2=IA2+AC2.

Theo giả thiết AB=AC nên IB=IC => tam giác IBC vuông cân.

2. Có BB'⊥(A'B'C') => BC là hình chiếu vuông góc của BC' xuống (ABC)

=> \widehat{C'BC}=β => tan2 β=\frac{h^{2}}{a^{2}}.  ∆ ABC cân ở A, D là trung điểm BC => AD⊥BC 

=> tanα=\frac{AD}{DB}=\frac{2AD}{a} => tan2α=\frac{4AD^{2}}{a^{2}}

tan2α+tan2 β=\frac{h^{2}+4AD^{2}}{a^{2}}= \frac{4AI^{2}+4AD^{2}}{a^{2}}= \frac{4(AI^{2}+AD^{2})}{a^{2}}

Mà tam giác IAD vuông cân ở A => IA2+AD2=ID2.

 ∆IAB vuông cân ở I

=> ID=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2} => IA2+AD2=\frac{a^{2}}{4} => tan2α+tan2 β=1 (đpcm)

Câu hỏi liên quan

  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết