Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 39834

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = a, AC = 2a, AA’ = 2a√5 và góc BAC = 1200. Gọi K là trung điểm của cạnh CC’. 1. Tính thể tích khối chóp A.A’BK. 2. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’B’BK. Gọi I là trung điểm của BB’. Tính khoảng cách từ điểm I đến (A’BK).

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = a, AC = 2a, AA’ = 2a√5 và góc BAC = 1200. Gọi

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = a, AC = 2a, AA’ = 2a√5 và góc BAC = 1200. Gọi K là trung điểm của cạnh CC’.

1. Tính thể tích khối chóp A.A’BK.

2. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’B’BK. Gọi I là trung điểm của BB’. Tính khoảng cách từ điểm I đến (A’BK).


A.
VA.A’BK = \frac{a^3\sqrt{15}}{12}, R = \frac{a\sqrt{21}}{2},  d(I,(A'BK)) = \frac{a\sqrt{5}}{6}
B.
VA.A’BK = \frac{a^3\sqrt{15}}{3}, R =  \frac{a\sqrt{21}}{3},  d(I,(A'BK)) = \frac{a\sqrt{5}}{6}
C.
VA.A’BK = \frac{a^3\sqrt{15}}{3}, R = \frac{a\sqrt{21}}{2},  d(I,(A'BK)) =  \frac{a\sqrt{5}}{5}
D.
VA.A’BK = \frac{a^3\sqrt{15}}{3}, R = \frac{a\sqrt{21}}{2},  d(I,(A'BK)) = \frac{a\sqrt{5}}{6}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

1.  Tính thể tích khối chóp A.A’BK.

Do CK // (AA'B) nên ta có 

VA.A’BK = VK.AA’B = VC.AA’B = VA’.ABC = \frac{1}{3}. SABC. AA’. 

SABC = \frac{1}{2} AB.AC. sin1200 =  \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}

Vậy VA.A’BK = \frac{1}{3} . \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}. 2a√5 = \frac{a^3\sqrt{15}}{3}

2. Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’B’BK.

Tam giác ABC có 

BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC. cos1200 = 7a2 

BK2 = BC2 + CK2 = 7a2 + (a√5)2 = 12a2

A’K2 = A’C’2 + C’K2 = 4a2 + 5a2 = 9a2

A’B2 = AA’2 + AB2 = 21 a2  => A’B2 = A’K2 + BK2 => tam giác A’BK vuông tại K.

Ta có \widehat{A'KB}  = \widehat{A'B'B} = 900

=>  4 điểm A’, B, K, B’ nằm trên mặt cầu đường kính A’B.

Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’B’BK có tâm E là trung điểm A’B và bán kính

R = \frac{1}{2} A’B = \frac{a\sqrt{21}}{2}.

*Tính khoảng cách từ I đến (A'BK)

Gọi F là trung điểm của A'B' => IF // (A'BK) => d(I, (A'BK)) = d(F, (A'BK))

Do E là trung điểm của AB' => d(F, (A'BK)) = \frac{1}{2} d(B',(A'BK)) = \frac{1}{2} d(A,(A'BK))

Tam giác A'BK có BK ⊥ A'K => SA’BK = \frac{1}{2}A’K. BK = \frac{1}{2}. 3a. 2a√3 = 3a2√3

VA.A’BK = \frac{1}{3}. SA’BK. d(A,(A'BK)) => d(A,(A'BK)) = \frac{a\sqrt{5}}{3}.

Vậy d(I,(A'BK)) = \frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{5}}{3} =  \frac{a\sqrt{5}}{6}.

 

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết