Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 45420

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có M là trung điểm cạnh AB, G là trọng tâm tam giác ABC, BC = 2a, góc ACB bằng 900, góc ABC bằng 600.Góc giữa cạnh bên CC’ và mặt đáy (ABC) là 450, hình chiếu vuông góc của C’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của CM. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và cosin của góc giữa hai đường thẳng BC và C’G.

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có M là trung điểm cạnh AB, G là trọng tâm tam giác ABC, BC

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có M là trung điểm cạnh AB, G là trọng tâm tam giác ABC, BC = 2a, góc ACB bằng 900, góc ABC bằng 600.Góc giữa cạnh bên CC’ và mặt đáy (ABC) là 450, hình chiếu vuông góc của C’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của CM. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và cosin của góc giữa hai đường thẳng BC và C’G.


A.
V = 4√5a3 và cos = \frac{1}e_2\sqrt {10}
B.
V = 3√5a3 và cos = \frac{1}e_2\sqrt {10}
C.
V = 2√5a3 và cos =  \frac{1}e_2\sqrt {10}
D.
V = 2√3a3 và cos = \frac{1}e_2\sqrt {10}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Tính được góc \widehat{C'CH} = 450, BC = 2a, AB = 4a, MC = 2a

HC = HC' = a, GH = \frac{a}{3} 

VABCA’B’C = C’H.SABC = a.\frac{1}{2}.AC.CB = 2√3a3 (đvtt)

Có \overrightarrow {B'G} = \overrightarrow {B'C'} + \overrightarrow {C'H} + \overrightarrow {HG}

và \overrightarrow{B'C'} ⊥\overrightarrow{C'H} =>\overrightarrow{B'C'}.\overrightarrow{C'H} = 0 ,\overrightarrow{C'H} ⊥\overrightarrow{HG} =>\overrightarrow{C'H} . \overrightarrow{HG} = 0

nên B’G2 = B’C2 + C’H2 + HG2 + 2B’C’.HG.cos(\overrightarrow{B'C'}.\overrightarrow{HG})

Do cos(\overrightarrow{B'C'}.\overrightarrow{HG}) = - cos(\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{GH}) = -cos600 = - \frac{1}{2}

=> B’G2 = \frac{40a^{2}}{9}; GC' = \sqrt{HC'^{2}+GH^{2}} = \frac{a\sqrt{10}}3{}

cosB’C’G = \frace_B'C{'^2} + GC{'^2} - B'{G^2}e_2B'C'.GC' = \frac{1}e_2\sqrt {10}

góc giữa BC và C’G bằng góc gữa B’C’ và C’G và có cosin bằng \frac{1}e_2\sqrt {10}

Cách khác:

cos(BC,C'G) = |cos\left( {\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {C'G} } \right)| = \frac{|\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{C'G}|}{CB.CG'}

Tính được C'G = \frac{a\sqrt{10}}{3} và \overrightarrow {C'G} = \overrightarrow {C'H} + \overrightarrow {HG}  = \overrightarrow {C'H} + \frac{1}{6}\overrightarrow {CM} 

= \overrightarrow {C'H} + \frac{1}e_12\overrightarrow {CA} + \frac{1}e_12\overrightarrow {CB}

=>\overrightarrow {C'G}.\overrightarrow {CB} = \frac{1}{2}CB2 = \frac{a^{2}}{3}

=> cos( BC; C'G) = \frac{1}e_2\sqrt {10}

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết