Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 41888

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng a. \widehat{BAD} = 900, \widehat{A'AB} = \widehat{A'AD} = 600. Tính thể tích khối tứ diện A'ABD và khoảng cách giữa AC và B'C'.

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng a.  = 900,  =  = 600.

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng a. \widehat{BAD} = 900, \widehat{A'AB} = \widehat{A'AD} = 600. Tính thể tích khối tứ diện A'ABD và khoảng cách giữa AC và B'C'.


A.
d(AC; B'D') = \frac{a\sqrt{2}}{3}  và VA’.ABD = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{12} 
B.
d(AC; B'D') = \frac{a\sqrt{2}}{2}  và VA’.ABD = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}
C.
d(AC; B'D') = \frac{a\sqrt{2}}{2}  và VA’.ABD = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}
D.
d(AC; B'D') = \frac{a\sqrt{2}}{2} và VA’.ABD = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Tính thể tích khối tứ diện A'ABD

Ta có ABA' và ADA' là các tam giác đều nên A'B = A'D = a

Trong tam giác ABD vuông tại A có BD = a√2

Vì A’B2 + A’D2 = BD2 nên A'BD là tam giác vuông tại A'. Gọi O là trung điểm BD

Ta có OB = OD = OA' = \frac{1}{2}BD = \frac{a\sqrt{2}}{2} và AB = AD = AA' = a nên AO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác A'BD, suy ra AO ⊥ (A'BD).

Ta có AO = \frac{1}{2} BD = \frac{a\sqrt{2}}{2}. Tính SA’BD = \frac{1}{2}A'B.A'D = \frac{1}{2}a2

Tính thể tích khối chóp: VA’.ABD = VA.A’BD = \frac{1}{3}AO.SA’BD = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}.

Tính d(AC; B'D')

Ta có AC và B'C' chéo nhau. AC ⊂ (ABCD);

B'C' ⊂ (A'B'C'D') và (ABCD) // (A'B'C'D')

Do đó d(AC; B'C') = d((ABCD); (A'B'C'D')) = d(A'; (ABCD))

Tính d(A'; (ABD)) = \frac{3V_{AA'BD}}{S_{ABD}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}

(Hoặc CM: A'O ⊥ (ABCD) => d(A'; (ABD)) = A'O = \frac{a\sqrt{2}}{2})

Vậy d(AC; B'D') = \frac{a\sqrt{2}}{2}

Câu hỏi liên quan

  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết