Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng a√3, đường chéo AC=2a. Biết rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy và SC=a√3. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau.
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng a√3, đường chéo AC=2a. Biết rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy và SC=a√3. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau.
(đvtt) 
(đvtt) 
(đvtt) 
(đvtt) Đáp án đúng: D
Lời giải của Luyện Tập 365
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Từ giả thiết ta có SO⊥(ABCD).Trong tam giác SOC vuông tại O ta có SO=
=
= a√2.
Trong tam giác AOB vuông tại O ta có
OB=
= = a√2.
Ta có VSABC = 
.SO.(OB.AC) = .a√2.a√2.2a = 
(đvtt)
Gọi H là trung điểm của SB. Ta có tam giác SBC cân tại C vì CS=CB=a√3 nên CH⊥SB. Tương tự ta cũng có AH⊥SB. Từ đó suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là góc giữa hai đường thẳng HA và HC. Từ SB⊥(AHC) =>OH⊥SB
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SOB vuông tại O ta có
=
+
=
+=>OH=a
Do đó OH=
AC. Trong tam giác AHC có đường trung tuyến kẻ từ H bằng một nửa cạnh đối diện nên tam giác AHC vuông tại H.
Do đó hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau.
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Từ giả thiết ta có SO⊥(ABCD).Trong tam giác SOC vuông tại O ta có SO== = a√2.
Trong tam giác AOB vuông tại O ta có
OB= = = a√2.
Ta có VSABC = .SO.(OB.AC) = .a√2.a√2.2a = (đvtt)
Gọi H là trung điểm của SB. Ta có tam giác SBC cân tại C vì CS=CB=a√3 nên CH⊥SB. Tương tự ta cũng có AH⊥SB. Từ đó suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là góc giữa hai đường thẳng HA và HC. Từ SB⊥(AHC) =>OH⊥SB
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SOB vuông tại O ta có
=+=+=>OH=a
Do đó OH=AC. Trong tam giác AHC có đường trung tuyến kẻ từ H bằng một nửa cạnh đối diện nên tam giác AHC vuông tại H.
Do đó hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau.
Câu hỏi liên quan
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C):
+
=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2. -
Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?
-
Tính tích phân I=
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.
-
Giải phương trình:
-
Cho các số thực x,y thỏa mãn x
+ y
= 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=
-12(x-1).(y-1)+√xy. -
Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình
=
-
Tìm số phức z thỏa mãn
= √5 và (2 - z)(i + 
) là số ảo. -
Giải phương trình
=
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).