Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng a√3, đường chéo AC=2a. Biết rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy và SC=a√3. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau.
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng a√3, đường chéo AC=2a. Biết rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy và SC=a√3. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau.
(đvtt) 
(đvtt) 
(đvtt) 
(đvtt) Đáp án đúng: D
Lời giải của Luyện Tập 365
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Từ giả thiết ta có SO⊥(ABCD).Trong tam giác SOC vuông tại O ta có SO=
=
= a√2.
Trong tam giác AOB vuông tại O ta có
OB=
= = a√2.
Ta có VSABC = 
.SO.(OB.AC) = .a√2.a√2.2a = 
(đvtt)
Gọi H là trung điểm của SB. Ta có tam giác SBC cân tại C vì CS=CB=a√3 nên CH⊥SB. Tương tự ta cũng có AH⊥SB. Từ đó suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là góc giữa hai đường thẳng HA và HC. Từ SB⊥(AHC) =>OH⊥SB
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SOB vuông tại O ta có
=
+
=
+=>OH=a
Do đó OH=
AC. Trong tam giác AHC có đường trung tuyến kẻ từ H bằng một nửa cạnh đối diện nên tam giác AHC vuông tại H.
Do đó hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau.
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Từ giả thiết ta có SO⊥(ABCD).Trong tam giác SOC vuông tại O ta có SO== = a√2.
Trong tam giác AOB vuông tại O ta có
OB= = = a√2.
Ta có VSABC = .SO.(OB.AC) = .a√2.a√2.2a = (đvtt)
Gọi H là trung điểm của SB. Ta có tam giác SBC cân tại C vì CS=CB=a√3 nên CH⊥SB. Tương tự ta cũng có AH⊥SB. Từ đó suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là góc giữa hai đường thẳng HA và HC. Từ SB⊥(AHC) =>OH⊥SB
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SOB vuông tại O ta có
=+=+=>OH=a
Do đó OH=AC. Trong tam giác AHC có đường trung tuyến kẻ từ H bằng một nửa cạnh đối diện nên tam giác AHC vuông tại H.
Do đó hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau.
Câu hỏi liên quan
-
Tìm số phức z thỏa mãn
+
=2
. -
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).
-
Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=
+
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=
+
+2(x+1)(y+1)+8
-
Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?
-
Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.
-
Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình
=
-
Cho hàm số y =
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất. -
Tính tích phân I=
-
Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của
, biết rằng n thỏa mãn 
.
= 180. (
, 
lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).