Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 1425

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân (BC // AD). Biết rằng hình chiếu của S xuống (ABCD) trùng với trung điểm của AD, SB = a√2, AD = 2a, AB = BC = CD = a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân (BC // AD). Biết rằng hình

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân (BC // AD). Biết rằng hình chiếu của S xuống (ABCD) trùng với trung điểm của AD, SB = a√2, AD = 2a, AB = BC = CD = a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD


A.
VS.ABCD = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{4}, HK = \frac{a\sqrt{21}}{7}
B.
VS.ABCD = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{4}, HK = \frac{a\sqrt{21}}{4}
C.
VS.ABCD = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{7}, HK = \frac{a\sqrt{21}}{7}
D.
VS.ABCD = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{7}, HK = \frac{a\sqrt{21}}{4}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Gọi H là trung điểm của AD.

Khi đó SH ⊥ (ABCD). Áp dụng định lý Pytago trong tam giác SBH ta có

SH = \sqrt{SB^{2}-BH^{2}} = \sqrt{2a^{2}-a^{2}} = a

Kẻ đường cao BE của hình thang ABCD. Áp dụng định lý Pitago trong tam giác ABE ta có:

BE = \sqrt{AB^{2}-AE^{2}} = \sqrt{a^{2}-\left ( \frac{a}{2} \right )^{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}

Suy ra:

VS.ABCD = \frac{1}{3}.SH.SABCD  = \frac{1}{3}.a.\frac{(a+2a).\frac{a\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{4} (đvtt).

Gọi I là trung điểm của BC. Kẻ HK vuông góc với SI tại K.

Vì BC ⊥ SH, BC ⊥ IH nên BC ⊥ HK. Từ đó suy ra HK ⊥ (SBC).

Khi đó

d(AD,SB) = d( AD, (SBC) ) = d (H, (SBC) ) = HK.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHI ta có

HK = \frac{HS.HI}{\sqrt{HS^{2}+HI^{2}}} = \frac{a.\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{a^{2}+\frac{3a^{2}}{4}}} = \frac{a\sqrt{21}}{7}

Câu hỏi liên quan

  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết