Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 16556

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=a, BC=a√3. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Điểm I thuộc đoạn SC sao cho SC=3IC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SB biết AI vuông góc với SC.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=a, BC=a√3. Hai mặt phẳng (SAC)

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=a, BC=a√3. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Điểm I thuộc đoạn SC sao cho SC=3IC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SB biết AI vuông góc với SC.


A.
VS.ABCD = small frac{a^{3}sqrt{15}}{3} và d(AI;SB)= small frac{4a}{sqrt{33}}
B.
VS.ABCD = small frac{a^{3}sqrt{15}}{9} và d(AI;SB)= small frac{2a}{sqrt{33}}
C.
VS.ABCD = small frac{a^{3}sqrt{15}}{3} và d(AI;SB)= small frac{2a}{sqrt{33}}
D.
VS.ABCD = small frac{a^{3}sqrt{15}}{9} và d(AI;SB)= small frac{4a}{sqrt{33}}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

(hs tự vẽ hình)

Ta có: SABCD = a.a√3 = a2√3   (đvdt)

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC, BD. Theo giả thiết ta có: SO ⊥ (ABCD)

small AC=sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=sqrt{a^{2}+3a^{2}}=2a => OC=a

Mặt khác: AI⊥SC => ∆SOC và ∆AIC đồng dạng

=> small frac{CI}{CO}=frac{CA}{CS}

<=> CI.CS=CO.CA

=> SC=a√6

=> SO=small sqrt{SC^{2}-OC^{2}}=asqrt{5}

VS.ABCD = small frac{1}{3}.SO.S_{ABCD}=frac{1}{3}.asqrt{5}.a^{2}sqrt{3}=frac{a^{3}sqrt{15}}{3} (đvtt)

Qua I kẻ đường thẳng song song với SB cắt BC tại M, suy ra SB//(AIM), do đó

d(SB;AI) = d(SB;(AIM)) = d(B;(AIM)).

Mà: small frac{CI}{CS}=frac{CM}{CB}=> BM=2CM => d(B;(AIM))=2d(C;(AIM))

Hạ IH ⊥ (ABCD) , dễ thấy IH=small frac{SO}{3}

small S_{AMC}=frac{S_{ABCD}}{6} => small V_{IAMC}=frac{1}{18}.V_{ABCD}=a^{3}frac{sqrt{15}}{54}

Ta có: IM=small frac{SB}{3}=frac{SC}{3}=asqrt{frac{2}{3}};AM=sqrt{AB^{2}+BM^{2}}=asqrt{frac{7}{3}}

AI=small sqrt{AC^{2}-CI^{2}}=asqrt{frac{10}{3}}

=> small coswidehat{MAI}=frac{3sqrt{70}}{28}=> sinwidehat{MAI}=frac{sqrt{154}}{28}

=> small S_{AMI}=frac{1}{2}.AM.AI.sinwidehat{MAI}=frac{1}{2}.asqrt{frac{7}{3}}.asqrt{frac{10}{3}}.frac{sqrt{154}}{28}=a^{2}frac{sqrt{55}}{12}

=> d(B;(AIM)) = 2d(C;(AIM)) = 2. small frac{3V_{IAMC}}{S_{AMI}}= small frac{4a}{sqrt{33}}

Câu hỏi liên quan

  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết