Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 16556

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=a, BC=a√3. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Điểm I thuộc đoạn SC sao cho SC=3IC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SB biết AI vuông góc với SC.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=a, BC=a√3. Hai mặt phẳng (SAC)

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=a, BC=a√3. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Điểm I thuộc đoạn SC sao cho SC=3IC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SB biết AI vuông góc với SC.


A.
VS.ABCD = small frac{a^{3}sqrt{15}}{3} và d(AI;SB)= small frac{4a}{sqrt{33}}
B.
VS.ABCD = small frac{a^{3}sqrt{15}}{9} và d(AI;SB)= small frac{2a}{sqrt{33}}
C.
VS.ABCD = small frac{a^{3}sqrt{15}}{3} và d(AI;SB)= small frac{2a}{sqrt{33}}
D.
VS.ABCD = small frac{a^{3}sqrt{15}}{9} và d(AI;SB)= small frac{4a}{sqrt{33}}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

(hs tự vẽ hình)

Ta có: SABCD = a.a√3 = a2√3   (đvdt)

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC, BD. Theo giả thiết ta có: SO ⊥ (ABCD)

small AC=sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=sqrt{a^{2}+3a^{2}}=2a => OC=a

Mặt khác: AI⊥SC => ∆SOC và ∆AIC đồng dạng

=> small frac{CI}{CO}=frac{CA}{CS}

<=> CI.CS=CO.CA

=> SC=a√6

=> SO=small sqrt{SC^{2}-OC^{2}}=asqrt{5}

VS.ABCD = small frac{1}{3}.SO.S_{ABCD}=frac{1}{3}.asqrt{5}.a^{2}sqrt{3}=frac{a^{3}sqrt{15}}{3} (đvtt)

Qua I kẻ đường thẳng song song với SB cắt BC tại M, suy ra SB//(AIM), do đó

d(SB;AI) = d(SB;(AIM)) = d(B;(AIM)).

Mà: small frac{CI}{CS}=frac{CM}{CB}=> BM=2CM => d(B;(AIM))=2d(C;(AIM))

Hạ IH ⊥ (ABCD) , dễ thấy IH=small frac{SO}{3}

small S_{AMC}=frac{S_{ABCD}}{6} => small V_{IAMC}=frac{1}{18}.V_{ABCD}=a^{3}frac{sqrt{15}}{54}

Ta có: IM=small frac{SB}{3}=frac{SC}{3}=asqrt{frac{2}{3}};AM=sqrt{AB^{2}+BM^{2}}=asqrt{frac{7}{3}}

AI=small sqrt{AC^{2}-CI^{2}}=asqrt{frac{10}{3}}

=> small coswidehat{MAI}=frac{3sqrt{70}}{28}=> sinwidehat{MAI}=frac{sqrt{154}}{28}

=> small S_{AMI}=frac{1}{2}.AM.AI.sinwidehat{MAI}=frac{1}{2}.asqrt{frac{7}{3}}.asqrt{frac{10}{3}}.frac{sqrt{154}}{28}=a^{2}frac{sqrt{55}}{12}

=> d(B;(AIM)) = 2d(C;(AIM)) = 2. small frac{3V_{IAMC}}{S_{AMI}}= small frac{4a}{sqrt{33}}

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết