Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 3562

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a√3, AD = a. Cạnh bên SC tạo với đáy một góc α thỏa mãn cosα  = \frac{2}{\sqrt{7}}. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SD và SB. Biết rằng hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp C. AMN và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BD

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a√3, AD = a. Cạnh bên

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a√3, AD = a. Cạnh bên SC tạo với đáy một góc α thỏa mãn cosα  = \frac{2}{\sqrt{7}}. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SD và SB. Biết rằng hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp C. AMN và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BD


A.
VC.AMN = a3. d(AM , BD) = \frac{a\sqrt{6}}{2}
B.
VC.AMN = \frac{a^{3}}{4} d(AM , BD) = \frac{a\sqrt{6}}{2}
C.
VC.AMN = \frac{a^{3}}{4} d(AM , BD) = \frac{a\sqrt{15}}{5}
D.
VC.AMN = a3. d(AM , BD) = \frac{a\sqrt{15}}{5}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

 

Vì hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy nên SA ⊥ (ABCD).

Từ đó suy ra (\widehat{SC,(ABCD)}) = \widehat{SCA} = α.

Ta có AC = \sqrt{AB^{2}+BC^{2}} = \sqrt{3a^{2}+a^{2}} = 2a.

Trong tam giác vuông SAC có SC = \dpi{100} \small \frac{AC}{cos\alpha } = \dpi{100} \small \frac{2a}{2} = a√7

Trong tam giác vuông SAC ta có SA = \sqrt{SC^{2}-AC^{2}} = \sqrt{7a^{2}-4a^{2}}

= a√3.

Từ đó suy ra

VS.ABCD = \frac{1}{3}.a√3.a√3.a = a3.

Ta có VC.AMN = VS.ABCD – VS.CMN – VN.ABC – VM.ACD – VS.AMN

= VS.ABCD (1 - \frac{1}{8} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8})

= \frac{1}{4} VS.ABCD = \frac{a^{3}}{4} (đvtt)

Tam giác AMN có AN = MN = a, AN = \frac{a\sqrt{6}}{2}

Nên có diện tích bằng \frac{a^{2}\sqrt{15}}{8}.

Suy ra d(C , (AMN)) = \frac{3V_{C.AMN}}{S_{AMN}} = \frac{\frac{3a^{3}}{4}}{\frac{a^{2}\sqrt{15}}{8}} = \frac{2a\sqrt{15}}{5}

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có:

d(AM , BD) = d(BD , (AMN)) = d(O , (AMN)) = \frac{1}{2}d(C , (AMN)) = \frac{a\sqrt{15}}{5}

Câu hỏi liên quan

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết