Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 34895

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, BDa. Trên cạnh AB lấy điểm M sao choBM 2AM. Biết rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SDM) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và mặt bên (SAB) tạo với mặt đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a và cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng OM và SA.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, BDa. Trên cạnh AB lấy

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, BDa. Trên cạnh AB lấy điểm M sao choBM 2AM. Biết rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SDM) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và mặt bên (SAB) tạo với mặt đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a và cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng OM và SA.


A.
V_{S.ABCD}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{16};cos(OM;SA)=\frac{12}{\sqrt{273}}
B.
V_{S.ABCD}=\frac{a^{5}\sqrt{3}}{16};cos(OM;SA)=\frac{12}{\sqrt{273}}
C.
V_{S.ABCD}=\frac{a^{5}\sqrt{3}}{16};cos(OM;SA)=\frac{12}{\sqrt{279}}
D.
V_{S.ABCD}=\frac{a^{5}\sqrt{3}}{16};cos(OM;SA)=\frac{15}{\sqrt{279}}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Gọi H = AC \cap DM vì (SAC) \perp (ABCD), (SDM) \perp (ABCD) => SH \perp (ABCD)

Từ H kẻ HK \perp AB => SK\perp AB => \widehat{SKH}=60^{0}  là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD)

Do AM//CD \Rightarrow \frac{HA}{HC}=\frac{AM}{CD}=\frac{1}{3}\Rightarrow AH=\frac{1}{4}AC=\frac{AO}{2}

MÀ \DeltaABD đều, AO là đường cao:

\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{4}\Rightarrow HK=AH.sin\widehat{HAK}=\frac{a\sqrt{3}}{4}.\frac{1}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{8}

\Rightarrow SH=HK. tan600= \frac{3a}{8}

Vậy V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{3a}{8}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{16}

Ta có: cos(OM;SA)=\frac{\left | \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{SA} \right |}{\left |\left | \overrightarrow{OM} \right |}\left |\overrightarrow{SA} \right |

Mà \left | \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{SA} \right |=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM})(\overrightarrow{SH}+\overrightarrow{HA})

=\overrightarrow{AO}.\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AH}=\frac{1}{2}AO^{2}-AM.AH.cos30^{0}

=\frac{1}{2}.\left ( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right )^{2}-\frac{a}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{4}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^{2}}{4}

Vậy cos(OM;SA)=\frac{\frac{a^{2}}{4}}{\frac{a\sqrt{13}}{6}.\frac{a\sqrt{21}}{8}}=\frac{12}{\sqrt{273}}

Câu hỏi liên quan

  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết