Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 63187

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, \dpi{100} \widehat{BAD}=60^{0}, tam giác SBC cân tại S. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) nằm trên đường thẳng AC. Mặt phẳng (SCD) tạo với đáy (ABCD) góc \dpi{100} 60^{0}. 1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a 2. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AD và SC theo a

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, , tam giác SBC cân tại S. Hình chiếu

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, \dpi{100} \widehat{BAD}=60^{0}, tam giác SBC cân tại S. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) nằm trên đường thẳng AC. Mặt phẳng (SCD) tạo với đáy (ABCD) góc \dpi{100} 60^{0}.

1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a

2. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AD và SC theo a


A.
1. \dpi{100} V_{SABCD}= \frac{a^{3}\sqrt{3}}{12} ;  2. d (AD,SC)= \dpi{100} \frac{a}{2}
B.
1. \dpi{100} V_{SABCD}= \frac{a^{3}\sqrt{3}}{6};  2. d (AD,SC)= \dpi{100} \frac{3a}{4}
C.
1. \dpi{100} V_{SABCD}= \frac{a^{3}\sqrt{3}}{12} ;  2. d (AD,SC)= \dpi{100} \frac{3a}{4}
D.
1. \dpi{100} V_{SABCD}= \frac{a^{3}\sqrt{3}}{6};  2. d (AD,SC)= \dpi{100} \frac{a}{2}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

1. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) thì \dpi{100} H\in AC (1)

ABCD là hình thoi => HB = HD => SB = SD = SC

Gọi M là trung điểm DC  => SM ⊥ DC (2)

Từ (1) và (2) DC ⊥ (SHM) => \dpi{100} \widehat{HMS}=\widehat{((SDC),(ABCD))}=60^{0}

Ta có: BD = a; AC = \dpi{100} a\sqrt{3}, BO = DO = \dpi{100} \frac{a}{2}; AO = CO = \dpi{100} \frac{a\sqrt{3}}{2}

Hai tam giác CMH và COD đồng dạng

=> \dpi{100} \frac{HM}{OD}=\frac{CM}{OC} => HM = \dpi{100} \frac{OD.CM}{OC} = \dpi{100} \frac{a}{2\sqrt{3}}

Lại có: h = SH = MH. tan 60 = a/2

\dpi{100} S_{ABCD}=\frac{1}{2}BD.AC= \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}

=> \dpi{100} V_{S.ABCD}= \frac{1}{3}.h.S_{ABCD}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}

Vậy \dpi{100} V_{SABCD}= \frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}

2. Vì AD // (SBC) => d (AD,SC) = d (AD,(SBC)) = d(D,(SBC))

Có SM = \dpi{100} \sqrt{SH^{2}+HM^{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}

d(D,(SBC)) = \dpi{100} \frac{3.V_{SBCD}}{S_{SBC}}

\dpi{100} V_{SBCD}=\frac{1}{2}.V_{SABCD}= \frac{a^{3}\sqrt{3}}{24}

\dpi{100} S_{SBC}=S_{SCD}=\frac{1}{2}.SM.DC=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{6}

=> d (AD,SC)= d(D,(SBC)) = \dpi{100} \frac{3.V_{SBCD}}{S_{SBC}}= \dpi{100} \frac{3a}{4}

Vậy  d (AD,SC)= \dpi{100} \frac{3a}{4}

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết