Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 39842

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O. SA vuông góc với đáy, SA = a, AB = 2AD, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt đáy (ABCD) bằng 600. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD và CD. Tính thể tích khối tứ diện OMNP theo a. (a > 0).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O. SA vuông góc với đáy, SA = a, AB

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O. SA vuông góc với đáy, SA = a, AB = 2AD, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt đáy (ABCD) bằng 600. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD và CD. Tính thể tích khối tứ diện OMNP theo a. (a > 0).


A.
 VOMNP = \frac{5}{188}a3 (đvtt)
B.
 VOMNP = \frac{5}{288}a3 (đvtt)
C.
 VOMNP = \frac{4}{288}a3 (đvtt)
D.
 VOMNP = \frac{4}{388}a3 (đvtt)
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

+ Hình vẽ:

Đặt AD = x. Suy ra AB = 2x (x > 0)

Gọi AH là đường cao ∆ABD.

Ta có: \frac{1}{AH^{2}} = \frac{1}{AD^{2}} + \frac{1}{AB^{2}} = \frac{5}{4x^{2}}

→ AH = \frac{2x}{\sqrt{5}}

Mặt khác: BD ⊥ AH  và BD ⊥ SA → BD ⊥ (SAH)→ BD ⊥ SH

Vậy góc giữa (ABCD) và (SBD) bằng góc \angleSHA và bằng 600.

Khi đó: AH = \frac{SA}{tan 60^{0}} = \frac{a}{\sqrt{3}}

Vậy nên: \frac{2x}{\sqrt{5}} = \frac{a}{\sqrt{3}} → x = \sqrt{\frac{5}{12}}a

Suy ra: AD = \sqrt{\frac{5}{12}}a; AB = 2.\sqrt{\frac{5}{12}}a

Ta có: VC.SBD  = VS.BCD =   \frac{1}{3}.SA.\frac{1}{2}.SABCD = \frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{5}{12}}a.2.\sqrt{\frac{5}{12}}a = \frac{5}{36}a3.

Vì P là trung điểm DC nên: 2d(P, (SBD)) = d(C,(SBD)).

Vì M, N, O lần lượt là trung điểm của các cạnh tam giác SBD nên:

dt (∆SBD) = 4.dt(∆OMN)

Ta có: \frac{V_{P.OMN}}{V_{C.SBD}} = \frac{\frac{1}{3}d(P,(OMN)).S_{OMN}}{\frac{1}{3}d(C,(SBD)). S_{SBD}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{4} = \frac{1}{8}

→ VP.OMN = \frac{1}{8}. VC.SBD = \frac{1}{8}.\frac{5}{36}a3 

=  \frac{5}{288}a3(đvtt).

Vậy thể tích cần tính là: VOMNP = \frac{5}{288}a3(đvtt).

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết