Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 63805

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60^{0}. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM = \frac{a\sqrt{3}}{3}. Mặt phẳng BCM cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60^{0}. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM = \frac{a\sqrt{3}}{3}. Mặt phẳng BCM cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM.


A.
V_{BCNM}= \frac{8\sqrt{3}a^{3}}{25}
B.
V_{BCNM}=\frac{9\sqrt{3}a^{3}}{25}
C.
V_{BCNM}=\frac{7\sqrt{3}a^{3}}{27}
D.
V_{S.BCNM}=\frac{10\sqrt{3}a^{3}}{27}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Tính thể tích của hình chóp S.BCNM 

Mặt phẳng (BCM) // AD nên nó cắt mặt phẳng (SAD) theo giao tuyến MN//AD

Ta có: BC ⊥ AB và BC⊥ SA => BC ⊥BM

Tứ giác BCNM là hình thang vuông BM là đường cao.

Ta có: SA =AB. tan 60 = a\sqrt{3}

\frac{MN}{AD}=\frac{SM}{SA}

<=> \frac{MN}{2a}=\frac{a\sqrt{3}-\frac{a\sqrt{3}}{3}}{a\sqrt{3}}=\frac{2}{3}

=> MN = \frac{4a}{3}

BM = \sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{3}}=\frac{2a}{\sqrt{3}}

Diện tích hình thang BCNM là : S = \frac{2a+\frac{4a}{3}}{2}\frac{2a}{\sqrt{3}}=\frac{10a^{2}}{3\sqrt{3}}

V_{SBCNM}= \frac{1}{3}.SH . S_{BCNM}

Hạ SH ⊥ BM

Ta có: SH ⊥BM

Và BC ⊥ (SAB) \equiv (SBM)=> BC ⊥ SH. Vậy SH ⊥ (BMNC)

=> SH là đường cao của khối chóp S.BCNM

Trong tam giác SBA ta có: SB = \frac{AB}{cos60}=2a

=> \frac{AB}{SB}=\frac{AM}{MS}=\frac{1}{2}

Vậy BM là phân giác của góc \widehat{SBH}=> \widehat{SBH} = 30^{0}=> SH = SB.sin 30^{0}=2a.\frac{1}{2}=a

Vậy thể tích khối chóp S.BCNM là 

V= \frac{1}{3}.a.\frac{10a^{2}}{3\sqrt{3}}=\frac{10\sqrt{3}a^{2}}{27}

Câu hỏi liên quan

  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết