Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 31046

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a,  AD = 2√2. Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD. Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 450. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AC và SD theo a

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = 2√2. Hình chiế

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a,  AD = 2√2. Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD. Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 450. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AC và SD theo a


A.
V = \frac{\sqrt{2}}{3}a3; d = \frac{2\sqrt{2}a}{\sqrt{11}}
B.
V = \frac{4\sqrt{3}}{3}a3; d = \frac{2\sqrt{2}a}{\sqrt{11}}
C.
V = \frac{4\sqrt{2}}{3}a3; d = \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{11}}
D.
V = \frac{4\sqrt{3}}{3}a3; d= \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{11}}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

 

Gọi H là trọng tâm tam giác BCD.

Theo giả thiết SH ⊥ (ABCD) 

Gọi O = AC ∩ BD => CH = \frac{2}{3} .CO = \frac{1}{3}.AC = a

SA tạo với đáy góc 450 suy ra \widehat{SAH} = 450

=> SH = AH = 2a 

Gọi V là thể tích của khối hộp S.ABCD thì

  V = \frac{1}{3}.SABCD.SH = \frac{1}{3}.a.2√2.a.2a = \frac{4\sqrt{2}}{3}.a3

Gọi M là trung điểm của SB . Mặt phẳng (ACM) chứa AC và //SD. Do đó

d(SD; AC) = d(SD; (ACM)) = d(D; (ACM)). Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Trong đó A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; 2√2; 0), S(\frac{2a}{3};\frac{4\sqrt{2}}{3}.a; 2a), C(a; 2√2a; 0) 

và M(\frac{5a}{6};\frac{2\sqrt{2}a}{3}; a)

 \overline{AC} = (a; 2√2a; 0)\overline{AM}=(\frac{5a}{6};\frac{2\sqrt{2}a}{3};a)\Rightarrow \overline{AC}\wedge \overline{AM}=(2\sqrt{2}a^{2};-a^{2};-\sqrt{2}a^{2})

Mặt phẳng (ACM) đi qua điểm A và có vecto pháp tuyến  \overrightarrow{n} = (2√2; -1; -√2)  nên có phương trình là 2√2.x - y - √2z = 0 

=> d\Rightarrow d(D;(ACM))=\frac{\begin{vmatrix} -2\sqrt{2}a \end{vmatrix}}{\sqrt{8+1+2}}=\frac{2\sqrt{2}a}{\sqrt{11}}

 

 

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết