Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 43007

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a; BC = a√2. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy (ABCD) và SA = a√3, SB = a. Gọi K là trung điểm của CB. Hãy tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau SC và DK.

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a; BC = a√2. Mặt phẳng (SAB) vuông

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a; BC = a√2. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy (ABCD) và SA = a√3, SB = a. Gọi K là trung điểm của CB. Hãy tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau SC và DK.


A.
V_{S.ABCD}=\frac{a^{3}\sqrt{7}}{3};d(SC, DK)=\frac{a}{2}
B.
V_{S.ABCD}=\frac{a^{3}\sqrt{5}}{3};d(SC, DK)=\frac{a}{2}
C.
V_{S.ABCD}=\frac{a^{3}\sqrt{6}}{3};d(SC, DK)=\frac{a}{3}
D.
V_{S.ABCD}=\frac{a^{3}\sqrt{6}}{3};d(SC, DK)=\frac{a}{2}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

∆SAB vuông tại S vì SB2 + SA2 = a2 + 3a2 = 4a2 = AB2

Kẻ SH vuông góc với AB tại H, ta có:

\frac{1}{SH^{2}}=\frac{1}{SA^{2}}+\frac{1}{SB^{2}}=\frac{4}{3a^{2}} => SH = \frac{a\sqrt{3}}{2}

\frac{AH}{AB}=\frac{AH.AB}{AB^{2}}=\frac{SA^{2}}{AB^{2}}=\frac{3}{4}

\left\{\begin{matrix} (SAB)\perp (ABCD)\\ (SAB)\cap (ABCD)=AB\\ SH\subset (SAB)\\ SH\perp AB \end{matrix}\right => SH vuông góc với (ABCD) tại H

Vậy VS.ABCD= SH.SABCD

Mà ABCD là hình chữ nhật có:

S_{ABCD}=2a^{2}\sqrt{2};SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{a^{3}\sqrt{6}}{3}

Xét \overrightarrow{DK}.\overrightarrow{CH}=0\Rightarrow DK \perpCH tại E

Mà DK \perp SH => DK \perp mp(SHC) tại E

Kẻ EJ\perp SC thì có EJ \perp CH tại E nên Ẹ là đường vuông góc chung của DK và SC

Vậy khoảng cách giữa DK và SC là EJ

∆CEK \sim ∆CBH \Rightarrow \frac{CE}{CB}=\frac{CK}{CH}\Rightarrow CE=\frac{2a}{3}

Mà CH=\frac{3a}{2}\Rightarrow \frac{CE}{CH}=\frac{4}{9}

Kẻ HI \perp SC tại I ta có EJ=\frac{4}{9}HI

\frac{1}{HI^{2}}=\frac{1}{SH^{2}}+\frac{1}{HC^{2}}=\frac{16}{9a^{2}}\Rightarrow HI=\frac{3a}{4}\Rightarrow EJ=\frac{a}{3}

Vậy khoảng cách giữa hai đường chéo nhau SC và DK là EJ=\frac{a}{3}

Câu hỏi liên quan

  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết