Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 43007

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a; BC = a√2. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy (ABCD) và SA = a√3, SB = a. Gọi K là trung điểm của CB. Hãy tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau SC và DK.

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a; BC = a√2. Mặt phẳng (SAB) vuông

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a; BC = a√2. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy (ABCD) và SA = a√3, SB = a. Gọi K là trung điểm của CB. Hãy tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau SC và DK.


A.
V_{S.ABCD}=\frac{a^{3}\sqrt{7}}{3};d(SC, DK)=\frac{a}{2}
B.
V_{S.ABCD}=\frac{a^{3}\sqrt{5}}{3};d(SC, DK)=\frac{a}{2}
C.
V_{S.ABCD}=\frac{a^{3}\sqrt{6}}{3};d(SC, DK)=\frac{a}{3}
D.
V_{S.ABCD}=\frac{a^{3}\sqrt{6}}{3};d(SC, DK)=\frac{a}{2}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

∆SAB vuông tại S vì SB2 + SA2 = a2 + 3a2 = 4a2 = AB2

Kẻ SH vuông góc với AB tại H, ta có:

\frac{1}{SH^{2}}=\frac{1}{SA^{2}}+\frac{1}{SB^{2}}=\frac{4}{3a^{2}} => SH = \frac{a\sqrt{3}}{2}

\frac{AH}{AB}=\frac{AH.AB}{AB^{2}}=\frac{SA^{2}}{AB^{2}}=\frac{3}{4}

\left\{\begin{matrix} (SAB)\perp (ABCD)\\ (SAB)\cap (ABCD)=AB\\ SH\subset (SAB)\\ SH\perp AB \end{matrix}\right => SH vuông góc với (ABCD) tại H

Vậy VS.ABCD= SH.SABCD

Mà ABCD là hình chữ nhật có:

S_{ABCD}=2a^{2}\sqrt{2};SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{a^{3}\sqrt{6}}{3}

Xét \overrightarrow{DK}.\overrightarrow{CH}=0\Rightarrow DK \perpCH tại E

Mà DK \perp SH => DK \perp mp(SHC) tại E

Kẻ EJ\perp SC thì có EJ \perp CH tại E nên Ẹ là đường vuông góc chung của DK và SC

Vậy khoảng cách giữa DK và SC là EJ

∆CEK \sim ∆CBH \Rightarrow \frac{CE}{CB}=\frac{CK}{CH}\Rightarrow CE=\frac{2a}{3}

Mà CH=\frac{3a}{2}\Rightarrow \frac{CE}{CH}=\frac{4}{9}

Kẻ HI \perp SC tại I ta có EJ=\frac{4}{9}HI

\frac{1}{HI^{2}}=\frac{1}{SH^{2}}+\frac{1}{HC^{2}}=\frac{16}{9a^{2}}\Rightarrow HI=\frac{3a}{4}\Rightarrow EJ=\frac{a}{3}

Vậy khoảng cách giữa hai đường chéo nhau SC và DK là EJ=\frac{a}{3}

Câu hỏi liên quan

  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết