Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 46275

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BC theo a.

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BC theo a.


A.
VS.ABC = \frac{a^3\sqrt{6}}{12},   d(BC, SA) = \frac{a\sqrt{42}}{8}
B.
VS.ABC = \frac{a^3\sqrt{7}}{12},   d(BC, SA) = \frac{a\sqrt{2}}{8}
C.
VS.ABC = \frac{a^3\sqrt{7}}{12},   d(BC, SA) = \frac{a\sqrt{42}}{7}
D.
VS.ABC = \frac{a^3\sqrt{7}}{12},   d(BC, SA) = \frac{a\sqrt{42}}{8}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Gọi M là trung điểm AB, ta có MH = MB - HB = \frac{a}{2} - \frac{a}{3} = \frac{a}{6}

Theo giả thiết: SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ HC => tam giác SHC vuông tại H và

(\widehat{SC, (ABC)}) = \widehat{SCH} = 600. 

Trong tam giác CHM ta có 

CH2 = CM2 + MH2 = \left ( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right )^2 + \left ( \frac{a}{6} \right )^2 = \frac{28a^2}{36} (Định lý Pi-ta-go)

=> CH = \frac{a\sqrt{7}}{3},   (CM là đường cao trong tam giác đều ABC)

Trong tam giác vuông SHC ta có 

SC = 2HC = 2\frac{a\sqrt{7}}{3} (Cạnh đối diện với góc 300 ) và SH = CH.tan600. = \frac{a\sqrt{21}}{3}

Diện tích tam giác đều ABC là SABC  = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}

VS.ABC  = \frac{1}{3}.SH.SABC  = \frac{1}{3}. \frac{a\sqrt{21}}{3}. \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^3\sqrt{7}}{12}

Xét trong mặt phẳng (ABC) kẻ d qua A và // BC. Nên BC // (SA; d)

d(BC, SA) = d[B; (SA, d)]

Dựng hình thoi ABCD. Dựng HK sao cho HK ⊥ AD, HI ⊥ SK (K ∈ AD, I ∈ SK)

Ta có SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ AD, mà KH ⊥ AD nên AD ⊥ (SHK)

=> (SAD) ⊥ (SHK) và HI ⊥ SK nên HI ⊥ (SAD)

=> HI là khoảng cách từ H đến (SAD)

=> KH = AH.sin\widehat{KAH} = \frac{2a}{3} . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHK 

=> \frac{1}{HI^2} = \frac{1}{HS^2} + \frac{1}{HK^2} = \frac{1}{\left ( \frac{a\sqrt{21}}{3} \right )^2} + \frac{1}{\left ( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right )^2}

=> HI = \frac{a\sqrt{42}}{12}

d(BC, SA) = \frac{3}{2}HI = \frac{3}{2}. \frac{a\sqrt{42}}{12} = \frac{a\sqrt{42}}{8}

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết