Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 31738

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, \widehat{ABC}=60^{0}, BC=2a. Gọi H là điểm thuộc đoạn BC sao cho BC=4BH. Biết rằng SH vuông góc với mặt đáy (ABC) và SA tạo với mặt đáy một góc 60^{0}. Tính thể tích hình chóp S.ABC và chứng minh SC vuông góc với AD, trong đó D là điểm được xác định bởi 3.\overrightarrow{SB}=2.\overrightarrow{SD}.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, \widehat{ABC}=60^{0}, BC=2a. Gọi H là điểm thuộc đoạn BC sao cho BC=4BH. Biết rằng SH vuông góc với mặt đáy (ABC) và SA tạo với mặt đáy một góc 60^{0}. Tính thể tích hình chóp S.ABC và chứng minh SC vuông góc với AD, trong đó D là điểm được xác định bởi 3.\overrightarrow{SB}=2.\overrightarrow{SD}.


A.
V_{S.ABC}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{4}
B.
V_{S.ABC}=\frac{a^{3}\sqrt{5}}{4}
C.
V_{S.ABC}=\frac{a^{3}\sqrt{5}}{8}
D.
V_{S.ABC}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là \widehat{SAH}=60^{0}. Ta có:

AH^{2}=BH^{2}+BA^{2}-2BH.BA.cos60^{0}=(\frac{a}{2})^{2}+a^{2}-2.\frac{a}{2}.a.\frac{1}{2}=\frac{3a^{2}}{4}

Suy ra AH\Rightarrow AH= \frac{a\sqrt{3}}{2}

\Rightarrow SH= AH. tan 60^{0}= \frac{3a}{2}

Từ đó: V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SH.S_{ABC}=\frac{1}{3}.\frac{3a}{2}\frac{1}{2}a.a\sqrt{3}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{4}

Ta có: AB^{2}=AH^{2}+BH^{2}\Rightarrow AH\perp BC. Kết hợp với AH\perp SH ⊥ SH suy ra AH\perp (SBC) nên AH ⊥ SC (1)

Ta có: SB=\sqrt{SH^{2}+BH^{2}}=\sqrt{(\frac{3a}{2})^{2}+(\frac{a}{2})^{2}}=\frac{a\sqrt{10}}{2}

 => SD \Rightarrow SD=\frac{3}{2}SB=\frac{3a\sqrt{10}}{4}

cos\widehat{SBH}=\frac{BH}{SB}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{10}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\Rightarrow cos\widehat{CBD}=-cos\widehat{SHB}=-\frac{1}{\sqrt{10}}

\Rightarrow CD^{2}=BC^{2}+BD^{2}-2BC.BD.cos\widehat{CBD}

=(2a)^{2}+(\frac{a\sqrt{10}}{4})^{2}-2.2a.\frac{a\sqrt{10}}{4}.(-\frac{1}{\sqrt{10}})=\frac{90a^{2}}{16}

=>   CD\Rightarrow CD=\frac{3a\sqrt{10}}{4}=SD

Kết hợp với HS=HC ta suy ra HD\perp HC  ⊥ SC (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra SC\perp (AHD)\Rightarrow SC\perp AD  nên SC ⊥ AD

Chú ý: Có thể chứng minh SC và AD vuông góc bằng tích vô hướng hoặc chứng minh HD đi qua trung điểm của  SC.

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết